fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל מסוים – חישוב שטח לפונקציה עם פרמטר – תרגיל 2385

תרגיל 

לגרף הפונקציה:

f(x)=\frac{a}{x}, a>o

העבירו משיק בנקודה שבה x=a. מצאו את משוואת המשיק ואת השטח שגבולותיו גרף הפונקציה, המשיק, הישר x=3a וציר x.

תשובה סופית


S=a(\ln 3-\frac{1}{2})

פתרון

נתונה הפונקציה:

f(x)=\frac{a}{x}

ראשית, נמצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה x=a. נמצא את ערך y של הנקודה:

f(a)=1

לכן, נקודת ההשקה היא

(a,1)

נמצא את השיפוע בנקודה. לשם כך, נגזור את הפונקציה ונציב בנגזרת את הנקודה. נגזור לפי נוסחאות גזירה ונקבל:

f'(x)=-\frac{a}{x^2}

נציב את הנקודה:

f'(a)=-\frac{a}{a^2}=-\frac{1}{a}

קיבלנו שיפוע:

m=-\frac{1}{a}

נשתמש בנוסחה למציאת משוואת משיק:

y-y_0=m(x-x_0)

נציב את הנקודה ואת השיפוע שמצאנו:

y-1=-\frac{1}{a}(x-a)

נסדר את המשוואה ונקבל:

y-1=-\frac{1}{a}x+1

y=-\frac{1}{a}x+2

כעת, נמצא את נקודת החיתוך של משוואת המשק עם ציר x, כדי לדעת את גבולות השטח שצריך למצוא. בציר x מתקיים y=0. נציב את זה במשוואה ונקבל:

0=-\frac{1}{a}x+2

\frac{1}{a}x=2

x=2a

כך נראים הגרפים והשטח שצריך לחשב:

תרגיל 3 - אינטגרל מסוים

בתמונה רואים דוגמה עבור a=5. הישרים האדומים הם הישרים: x=a, x=2a, x=3a משמאל לימין. הגרף הירוק הוא גרף הפונקציה. הגרף הכחול הוא המשיק לפונקציה. השטח לחישוב מסומן בקווים צהובים, כלומר השטחים A+B.

נחשב את השטח בעזרת אינטגרל מסוים. לשם כך, נפצל את השטח בישר x=2a, ונחשב את שטח שני התחומים בעזרת שני אינטגרלים:

S=\int_a^{2a} \frac{a}{x}-(-\frac{1}{a}x+2)dx+\int_{2a}^{3a} \frac{a}{x}dx=

נפתור את האינטגרלים בעזרת נוסחאות אינטגרציה:

=[a\ln x+\frac{1}{a}\cdot \frac{x^2}{2}-2x]_a^{2a}+[a\ln x]_{2a}^{3a}=

זהו אינטגרל מסוים. נציב את גבולות האינטגרציה:

=a\ln(2a)+\frac{1}{a}\cdot \frac{4a^2}{2}-4a-(a\ln a+\frac{1}{a}\cdot\frac{a^2}{2}-2a)+a\ln (3a)-a\ln(2a)=

=2a-4a-a\ln a-\frac{a}{2}+2a+a\ln (3a)=

=a(\ln (3a)-\ln a-\frac{1}{2})=

נשתמש בחוקי לוגריתמים:

=a(\ln \frac{3a}{a}-\frac{1}{2})=

=a(\ln 3-\frac{1}{2})

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה