fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל מסוים – חישוב שטח בין שני פולינומים – תרגיל 7009

תרגיל 

חשבו את שטח התחום שגבולותיו הם המשוואות:

y=6-x^2, y=x^2-2x-6

תשובה סופית


S=41\frac{2}{3}

פתרון

נמצא את נקודות החיתוך בין שני הפולינומים. לשם כך, נשווה ביניהם ונקבל:

6-x^2=x^2-2x-6

2x^2-2x-12=0

בעזרת נוסחת השורשים נקבל את הפירוק:

(x+2)(x-3)=0

מכאן, נקודות החיתוך הן

x=-2, x=3

התחום נראה כך:

השטח המבוקש מסומן בקווים ירוקים והפולינומים בקו אדום ובקו כחול.

נחשב את השטח בעזרת אינטגרל מסוים:

S=\int_{-2}^3 6-x^2-(x^2-2x-6) dx=

=\int_{-2}^3 -2x^2+2x+12 dx=

נפתור את האינטגרל בעזרת נוסחאות אינטגרציה:

=[-2\cdot\frac{x^3}{3}+2\cdot\frac{x^2}{2}+12x]_{-2}^3=

=[-2\cdot\frac{x^3}{3}+x^2+12x]_{-2}^3=

זהו אינטגרל מסוים. נציב את גבולות האינטגרציה:

=-2\cdot\frac{3^3}{3}+3^2+12\cdot 3-(-2\cdot\frac{{(-2)}^3}{3}+{(-2)}^2+12\cdot (-2))=

=-18+9+36-\frac{16}{3}-4+24=

=27+14\frac{2}{3}=

=41\frac{2}{3}

הערה: אם מחסרים את הפונקציות באינטגרל בסדר הפוך, מקבלים את אותה התוצאה בסימן הפוך, כלומר שלילי. במקרה כזה, נעשה ערך מוחלט על התוצאה ונקבל שטח חיובי כנדרש.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה