תרגיל
חשבו את שטח התחום שגבולותיו הם המשוואות:
y=x^2, y=-x+6, y=0
תשובה סופית
פתרון מפורט
נמצא את נקודות החיתוך בין הישרים. לשם כך, נשווה ביניהם ונקבל:
x^2=-x+6
x^2+x-6=0
בעזרת נוסחת השורשים נקבל את הפירוק:
(x-2)(x+3)=0
מכאן, נקודות החיתוך הן
x=2, x=-3
התחום נראה כך:
השטח המבוקש מסומן בקווים ירוקים, הפרבולה – בקו אדום, הישר – בקו כחול וציר x – בקו ירוק.
רואים שהשטח המבוקש הוא סכום של 2 שטחים זרים:
לכן, נחשב כל שטח באינטגרל נפרד ובסוף נחבר את התוצאות.
S=S_1+S_2
נפתור כל אינטגרל בנפרד בעזרת נוסחאות אינטגרציה. נחשב את האינטגרל הראשון:
S_1=\int_0^2 x^2 dx=
=[\frac{x^3}{3}]_0^2=
זהו אינטגרל מסוים. נציב את גבולות האינטגרציה:
=\frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3}=
=\frac{8}{3}
נחשב את האינטגרל השני:
S_2=\int_2^6 -x+6 dx=
= [-\frac{x^2}{2}+6x]_2^6=
נציב את גבולות האינטגרציה:
=-\frac{6^2}{2}+6\cdot 6-(-\frac{2^2}{2}+6\cdot 2)=
=-\frac{36}{2}+36-(-2+12)=
=18-10=
=8
מכאן, השטח של התחום השני הוא
S_2=8
לבסוף, נסכום את התוצאות:
S=S_1+S_2=
=\frac{8}{3}+8=
=10\frac{2}{3}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
