תרגיל
חשבו את שטח התחום שגבולותיו הם המשוואות:
y=x^2-2x-3, y=-x+3, x=0, x\geq 0
תשובה סופית
פתרון מפורט
נמצא את נקודות החיתוך בין הפולינום לישר. לשם כך, נשווה ביניהם ונקבל:
x^2-2x-3=-x+3
x^2-x-6=0
בעזרת נוסחת השורשים נקבל את הפירוק:
(x+2)(x-3)=0
מכאן, נקודות החיתוך הן
x=-2, x=3
אבל התחום המבוקש הוא רק בתחום x חיובי, לכן רק הנקודה x=3 רלוונטית.
התחום נראה כך:
השטח המבוקש מסומן בקווים ירוקים, הפולינום בקו אדום והישרים בקו כחול ובקו ירוק.
נחשב את השטח בעזרת אינטגרל מסוים:
S=\int_{0}^3 -x+3-(x^2-2x-3) dx=
S=\int_{0}^3 -x^2+x+6 dx=
נפתור את האינטגרל בעזרת נוסחאות אינטגרציה:
=[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+6x]_0^3=
זהו אינטגרל מסוים. נציב את גבולות האינטגרציה:
=-\frac{3^3}{3}+\frac{3^2}{2}+6\cdot 3-(-\frac{0^3}{3}+\frac{0^2}{2}+6\cdot 0)=
=-9+\frac{9}{2}+18-0=
=9+\frac{9}{2}=
=13\frac{1}{2}
הערה: אם מחסרים את הפונקציות באינטגרל בסדר הפוך, מקבלים את אותה התוצאה בסימן הפוך, כלומר שלילי. במקרה כזה, נעשה ערך מוחלט על התוצאה ונקבל שטח חיובי כנדרש.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
