fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל מסוים – תחום סימטרי סביב אפס – תרגיל 1612

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_{-3}^3 {(x^7-3x^3+6x)}^{11} dx

תשובה סופית


\int_{-3}^3 {(x^7-3x^3+6x)}^{11} dx= 0

פתרון

הפונקציה היא הרכבה של פונקציות (פולינום עם פולינום), אך הפונקציה הפנימית אינה לינארית, ולכן אי-אפשר להשתמש בכלל ההרכבה מכללי האינטגרציה.

נשים לב שתחום האינטגרציה הוא סימטרי סביב אפס:

(-5,5)

לכן, כדאי לבדוק אם הפונקציה אי-זוגית. נבדוק:

f(-x)={({(-x)}^7-3{(-x)}^3+6(-x))}^{11}=

={(-x^7+3x^3-6x)}^{11}=

={((-1)x^7-(-1)3x^3+(-1)6x)}^{11}=

={(-1)}^{11}{(x^7-3x^3+6x)}^{11}=

=-{(x^7-3x^3+6x)}^{11}=-f(x)

קיבלנו שהפונקציה באינטגרל מקיימת:

f(-x)=-f(x)

כלומר, הפונקציה אי-זוגית. וכן, התחום סימטרי סביב אפס. לכן, אפשר להסיק שהאינטגרל שווה לאפס:

\int_{-3}^3 {(x^7-3x^3+6x)}^{11} dx= 0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה