fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל מסוים – מנה של פונקציות עם שורש – תרגיל 1604

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_1^4 \frac{1+\sqrt{x}}{x^2} dx

תשובה סופית


\int_1^4 \frac{1+\sqrt{x}}{x^2} dx = 1\frac{3}{4}

פתרון

אין לנו נוסחת אינטגרציה למנה של פונקציות, לכן ננסה לפשט את הפונקציה לאיברים של פונקציות אלמנטריות. בתרגיל שלנו, מספיק לחלק את האיברים במונה באיבר במכנה. כך נקבל:

\int_1^4 \frac{1+\sqrt{x}}{x^2} dx=

=\int_1^4 \frac{1}{x^2}+\frac{\sqrt{x}}{x^2} dx=

=\int_1^4 x^{-2}+x^{-\frac{3}{2}} dx=

עכשיו, אפשר להשתמש בנוסחאות אינטגרציה ומקבלים:

=[\frac{x^{-1}}{-1}+\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}]_1^4=

=[-\frac{1}{x}-2\frac{1}{\sqrt{x}}]_1^4=

כעת, נציב את גבולות האינטגרציה – גבול עליון פחות גבול תחתון – ונקבל:

=(-\frac{1}{4}-2\frac{1}{\sqrt{4}})-(-\frac{1}{1}-2\frac{1}{\sqrt{1}})=

=(-\frac{1}{4}-2\frac{1}{2})-(-1-2\cdot 1)=

=-\frac{1}{4}-1+1+2=1 \frac{3}{4}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה