תחום הגדרה

תחום הגדרה

תחום הגדרה זו קבוצת כל הנקודות בציר x שאפשר להציב בפונקציה ולקבל בה משהו מוגדר.

דוגמה 1:

בפונקציה 

f(x)=x+2

אפשר להציב במקום x כל מספר ממינוס אינסוף עד אינסוף. לכן, תחום ההגדרה יהיה כל x ונכתוב זאת כך:

-\infty< x< \infty

דוגמה 2

בפונקציה

f(x)=\sqrt{x+2}

הביטוי בתוך השורש לא יכול להיות שלילי, ולכן נדרוש שיתקיים:

x+2\geq 0

x\geq -2

ומקבלים שאפשר להציב בפונקציה במקום x רק את המספר 2- או מספרים גדולים יותר. לכן, תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:

x\geq -2

כך נראה תחום ההגדרה בפונקציות:

בפונקציה עם משתנה אחד x יהיה תחום ההגדרה קטע (סופי או אינסופי) מציר x, או כל ציר x (ואז נאמר בקיצור שתחום ההגדרה הוא כל x).

בפונקציה עם שני משתנים יהיה תחום ההגדרה תחום במישור XY, סופי או אינסופי. הוא יכול להיות מספר סופי של נקודות, ישר או ישרים במישור, צורה סגורה כמו מעגל, משולש, ריבוע ועוד או צורה פתוחה אינסופית.

בפונקציה עם שלושה משתנים יהיה תחום ההגדרה גוף במרחב XYZ. התחום יכול להיות סגור כמו כדור או פתוח כמו גליל אינסופי.

שימו לב שאם קיבלתם שוויון במשוואה שמגדירה את תחום ההגדרה, אז תחום ההגדרה כולל רק את הנקודות שעל המשוואה. לעומת זאת, אם המשוואה שמגדירה אם תחום ההגדרה מכילה אי-שוויון (הסימנים “גדול” או “קטן”), אז התחום הוא אוסף הנקודות מצד אחד של המשוואה. אם סימן האי-שוויון כולל את סימן השוויון (כלומר, הסימנים “גדול או שווה” או “קטן או שווה”), אז התחום כולל גם את הנקודות שעל המשוואה וגם את הנקודות שמצד אחד שלה.

איך מוצאים תחום הגדרה

האמת, שזה די פשוט. כל מה שצריך לעשות זה לעבור על הכללים האלה:

• אם יש בפונקציה שבר, אז המכנה שלו צריך להיות שונה מאפס.
• אם יש בפונקציה שורש זוגי, אז הביטוי שבתוך השורש צריך להיות אי-שלילי, כלומר גדול או שווה לאפס. שימו לב שעם שורש אי-זוגי (כמו שורש שלישי) אין שום בעיה, והוא לא מגביל את ערכי x.
• אם יש בפונקציה log, אז הביטוי בתוכו צריך להיות גדול (ממש) מאפס, כלומר לא אפס ולא מספר שלילי. זכרו שגם ln הוא log (עם בסיס e). כמו כן, שימו לב שלפי הגדרת log, גם בסיס ה-log חייב להיות גדול מאפס, ואפילו שונה מאחד, אבל בדרך כלל לא יופיע משתנה בבסיס ה-log, אלא מספר כלשהו, המקיים את התנאים האלה.
• אם יש בפונקציה arcsin או arccos, אז הביטוי שבתוך ה-arcsin או ה-arccos צריך להיות בין הנקודה 1 לבין הנקודה (1-), כולל הנקודות.

אם אף אחד לא מופיע בפונקציה – לא מכנה, לא שורש זוגי ולא log – אז תחום ההגדרה יהיה כל x, ואם מופיעים כמה דברים וקיבלתם כמה תחומים, אז תחום ההגדרה הסופי הוא חיתוך “וגם” ביניהם.

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות בנושא זה במשתנה אחד

לחצו כאן לתרגילים ופתרונות בנושא זה בשני משתנים או יותר

 

עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂