fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

תחום הגדרה – פונקציה עם log ו-tan – תרגיל 2533

תרגיל 

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה

f(x)=\sqrt[4]{\log_2 (\tan x)}

תשובה סופית


\cup_{k=-\infty}^{k=\infty} [\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)

פתרון

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. יש בפונקציה שלנו log, ולכן נבדוק שהביטוי בתוכו חיובי:

\tan x >0

כמו כן, יש בפונקציה שורש זוגי, ולכן נבדוק שהביטוי בתוכו חיובי או אפס:

\log_2 (\tan x)\geq 0

נפתור את האי-שוויון השני. מכיוון שבסיס הלוג גדול מאחד (2), מחוקי לוגריתמים מקבלים:

2^{\log_2 (\tan x)}\geq 2^0

\tan x\geq 1

כלומר, מחפשים את התחום בציר x המקיים:

\tan x\geq 1

וגם

\tan x >0

יחד מקבלים שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא התחום המקיים :

\tan x\geq 1

ניזכר בפונקציית tan:

תחום הגדרה - פונקציית tan

פונקציית tan (מסומנת בכחול) היא פונקציה מחזורית בעלת מחזור באורך פאי, הממשיכה באופן דומה ממינוס אינסוף עד אינסוף. שימו לב שיש לה אינסוף אסימפטוטות אנכיות (מסומנות באדום) בנקודות:

x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in Z

נבדוק מתי מתקיים:

\tan x= 1

הפונקציה שווה לאחת כאשר

x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in Z

בכל מחזור (בין כל שתי אסימפטוטות) יש פונקציה מונוטונית עולה זהה. לכן, התחום שאנו מחפשים הוא התחום בציר x מהנקודה שבה הפונקציה שווה לאחד (כולל הנקודה) עד סוף הקטע הרציף (עד האסימפטוטה הבאה, ולכן ללא הנקודה). כך מקבלים שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא

\cup_{k=-\infty}^{k=\infty} [\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)=

=... \text{ and }[-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{2})\text{ and }[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}) \text{ and }[\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}) \text{ and }...

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה