fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

תחום הגדרה – פונקציה עם שורשים – תרגיל 5752

תרגיל 

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה:

y=\sqrt{x^2-3x+2}+\frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}}

תשובה סופית


-1<x\leq 1\text{  or  } 2\leq x< 3

פתרון

y=\sqrt{x^2-3x+2}+\frac{1}{\sqrt{3+2x-x^2}}

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מכיוון שיש מכנה, נדרוש שהביטוי במכנה יהיה שונה מאפס:

\sqrt{3+2x-x^2}\neq 0

כמו כן, יש שורשים זוגיים, ולכן נדרוש שהביטויים בתוך השורשים יהיו לא שליליים:

3+2x-x^2\geq 0

x^2-3x+2\geq 0

נפתור את האי-שוויון האחרון:

x^2-3x+2\geq 0

זה אי-שוויון ריבועינתבונן במשוואה הריבועית:

x^2-3x+2=0

המקדמים של המשוואה הם

a=1, b=-3, c=2

המקדם של האיבר הריבועי (a) חיובי, ולכן הפרבולה (גרף המשוואה הריבועית) “מחייכת” (=בצורת קערה). מסימן האי-שוויון צריכים לבדוק עבור אלו x-ים הפרבולה לא שלילית, כלומר מעל ציר x או ממש עליו. נמצא את הפתרונות (=אפסים=שורשים) של המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים. נציב את המקדמים בנוסחה:

x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{{(-3)}^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=

=\frac{3\pm \sqrt{1}}{2}=

=\frac{3\pm 1}{2}

מכאן, הפתרונות הם

x_1=\frac{3+ 1}{2}=2

x_2=\frac{3-1}{2}=1

מכיוון שהפרבולה שקיבלנו “מחייכת” ואנו מחפשים את התחום שבו היא מעל ציר x, מקבלים שהתחום המבוקש הוא

x\leq 1\text{  or  } x\geq 2

שני האי-שוויונים האחרים:

\sqrt{3+2x-x^2}\neq 0

3+2x-x^2\geq 0

שקולים יחד לאי-שוויון:

3+2x-x^2>0

זה אי-שוויון ריבועינתבונן במשוואה הריבועית:

-x^2+2x+3=0

המקדמים של המשוואה הם

a=-1, b=2, c=3

המקדם של האיבר הריבועי (a) שלילי, ולכן הפרבולה (גרף המשוואה הריבועית) “בוכה” (=בצורת קערה הפוכה). מסימן האי-שוויון צריכים לבדוק עבור אלו x-ים הפרבולה חיובית, כלומר מעל ציר x. נמצא את הפתרונות (=אפסים=שורשים) של המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים. נציב את המקדמים בנוסחה:

x_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1)\cdot 3}}{2\cdot (-1)}=

=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{-2}=

=\frac{-2\pm 4}{-2}

מכאן, הפתרונות הם

x_1=\frac{-2-4}{-2}=3

x_2=\frac{-2+4}{-2}=-1

מכיוון שהפרבולה באי-שוויון “בוכה” (המקדם של האיבר הריבועי שלילי) ואנו מחפשים את התחום שבו היא מעל ציר x, מקבלים שהפתרון הוא

-1<x<3

נחתוך את שתי התוצאות שקיבלנו:

x\leq 1\text{  or  } x\geq 2

וגם

-1<x<3

ויחד נקבל את התשובה הסופית:

-1<x\leq 1\text{  or  } 2\leq x< 3

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה