fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

תחום הגדרה – פונקציה עם שורש ועם ln – תרגיל 5736

תרגיל 

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה:

y=\sqrt{x^2-1}+\ln\sqrt{1-4x^2}

תשובה סופית

אין פתרון

פתרון

y=\sqrt{x^2-1}+\ln\sqrt{1-4x^2}

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מכיוון שיש שורשים, נדרוש שהביטויים בתוך השורשים יהיו לא שליליים:

x^2-1\geq 0

1-4x^2\geq 0

כמו כן, יש פונקציית ln, לכן נדרוש שהביטוי בתוך ה-ln יהיה חיובי:

\sqrt{1-4x^2}>0

קיבלנו 3 אי-שוויונים. נפתור את האי-שוויון הראשון:

x^2-1\geq 0

זהו אי-שוויון ריבועי. שורשי המשוואה הריבועית:

x^2-1=0

הם

x=\pm 1

מכיוון שהפרבולה “מחייכת” (המקדם של האיבר הריבועי חיובי) ואנו מחפשים את התחום שבו היא מעל ציר x, מקבלים שהתחום המבוקש הוא

-1\geq x \text{  or  } x\geq 1

שני האי-שוויונים האחרים שקולים לאי-שוויון:

1-4x^2>0

שוב קיבלנו אי-שוויון ריבועי. שורשי המשוואה הריבועית:

1-4x^2=0

הם

x=\pm \frac{1}{2}

מכיוון שהפרבולה “בוכה” (המקדם של האיבר הריבועי שלילי) ואנו מחפשים את התחום שבו היא מעל ציר x, מקבלים שהתחום המבוקש הוא

-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}

נחתוך (קשר “וגם”) את שני הפתרונות שקיבלנו:

-1\geq x \text{  or  } x\geq 1

-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2}

החיתוך נותן את הקבוצה הריקה (אין נקודה שמקיימת את שני האי-שוויונים).

לכן, התשובה הסופית היא שאין פתרון.

 

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה