fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

תחום הגדרה – פונקציה עם log – תרגיל 5749

תרגיל 

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה:

y=\sqrt{\log_3 [(3-2x)(1-x)]}

תשובה סופית


x\geq 2\text{  or  } x\leq\frac{1}{2}

פתרון

y=\sqrt{\log_3 [(3-2x)(1-x)]}

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מכיוון שיש log, נדרוש שהביטוי בתוך ה-log יהיה גדול מאפס:

(3-2x)(1-x)>0

כמו כן, יש שורש זוגי, ולכן נדרוש שהביטוי בתוך השורש יהיה לא שלילי:

\log_3 [(3-2x)(1-x)]\geq 0

נפתור את האי-שוויון הראשון:

(3-2x)(1-x)>0

זה אי-שוויון ריבועינתבונן במשוואה:

(3-2x)(1-x)=0

מכיוון שהוא מפורק לגורמים, קל למצוא את השורשים שלו. השורש הראשון:

3-2x=0

3=2x

x=\frac{3}{2}

והשורש השני:

1-x=0

x=1

מכיוון שהפרבולה באי-שוויון “מחייכת” (המקדם של האיבר הריבועי חיובי) ואנו מחפשים את התחום שבו היא מעל ציר x, מקבלים שהפתרון הוא

x>\frac{3}{2}\text{  or  } x<1

נפתור את האי-שוויון השני:

\log_3 [(3-2x)(1-x)]\geq 0

קיבלנו לוג באי-שוויון. לפי הגדרת לוג, נקבל שהאי-שוויון שקול לאי-שוויון:

(3-2x)(1-x)\geq 3^0=1

הערה: אם בסיס הלוג היה קטן מאחד, היינו הופכים את הסימן באי-שוויון.

נפתח סוגריים:

3-3x-2x+2x^2\geq 1

2x^2-5x+3\geq 1

2x^2-5x+2\geq 0

קיבלנו אי-שוויון ריבועי. המקדמים שלו הם

a=2, b=-5, c=2

המקדם של האיבר הריבועי (a) חיובי, ולכן הפרבולה (גרף המשוואה הריבועית) “מחייכת” (=בצורת קערה). מסימן האי-שוויון צריכים לבדוק עבור אלו x-ים הפרבולה לא שלילית, כלומר מעל ציר x או ממש עליו. נמצא את הפתרונות (=אפסים=שורשים) של המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים. נציב את המקדמים בנוסחה:

x_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{{(-5)}^2-4\cdot 2\cdot 2}}{2\cdot 2}=

=\frac{5\pm \sqrt{9}}{4}=

=\frac{5\pm 3}{4}

מכאן, הפתרונות הם

x_1=\frac{5+ 3}{4}=2

x_2=\frac{5- 3}{4}=\frac{1}{2}

מכיוון שהפרבולה שקיבלנו “מחייכת” ואנו מחפשים את התחום שבו היא מעל ציר x, מקבלים שהתחום המבוקש הוא

x\geq 2\text{  or  } x\leq\frac{1}{2}

נחתוך את שתי התוצאות שקיבלנו:

x>\frac{3}{2}\text{  or  } x<1

וגם

x\geq 2\text{  or  } x\leq\frac{1}{2}

ויחד נקבל את התשובה הסופית:

x\geq 2\text{  or  } x\leq\frac{1}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה