fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

תחום הגדרה – פונקציה מפוצלת לשתי פונקציות – תרגיל 5755

תרגיל 

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה:

f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{2-x}-\sqrt{4-3x}}{x^2-3x+2}, &\quad x<1\\ \frac{2x^2-6x+4}{x^2-1}, &\quad x>1\\ \end{cases}

תשובה סופית


הפונקציה מוגדרת בכל תחום ההגדרה שלה:

x<1\text{  or  }x>1

פתרון

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. מכיוון שיש מכנה, נדרוש שהביטויים במכנה יהיו שונים מאפס:

x^2-3x+2\neq 0

x^2-1\neq 0

כמו כן, יש שורשים זוגיים, ולכן נדרוש שהביטויים בתוך השורשים יהיו לא שליליים:

2-x\geq 0

4-3x\geq 0

נפתור את כל האי-שוויונים ונחתוך את התוצאות שלהם (בקשר “וגם”).

נפתור את האי-שוויון הראשון:

x^2-3x+2\neq 0

נפתור את המשוואה הריבועית. המקדמים שלה הם

a=1, b=-3, c=2

נמצא את הפתרונות (=אפסים=שורשים) של המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים. נציב את המקדמים בנוסחה:

x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{{(-3)}^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=

=\frac{3\pm \sqrt{1}}{2}=

=\frac{3\pm 1}{2}

מכאן, הפתרונות הם

x_1=\frac{3+ 1}{2}=2

x_2=\frac{3-1}{2}=1

מכיוון שמבקשים את התחום שבו הפרבולה שונה מאפס, התשובה היא

x\neq 1,2

כעת, נחתוך את התוצאה עם תחום ההגדרה של הפונקציה שהוא

x<1

ונקבל שהפתרון של האי-שוויון הראשון הוא

x<1

נפתור את האי-שוויון השני:

x^2-1\neq 0

שוב קיבלנו משוואה ריבועית. שורשיה הם

x= \pm 1

ומכיוון שמבקשים את התחום שבו הפרבולה שונה מאפס, התשובה  היא

x\neq \pm 1

שוב, נחתוך את התוצאה עם תחום ההגדרה של הפונקציה שהוא

x>1

ונקבל שהפתרון של האי-שוויון השני הוא

x>1

נפתור את האי-שוויון השלישי:

2-x\geq 0

x\leq 2

נחתוך את התוצאה עם תחום ההגדרה של הפונקציה שהוא

x<1

ונקבל שהפתרון של האי-שוויון השלישי הוא

x<1

נפתור את האי-שוויון הרביעי:

4-3x\geq 0

3x\leq 4

x\leq \frac{4}{3}

נחתוך את התוצאה עם תחום ההגדרה של הפונקציה שהוא

x<1

ונקבל שהפתרון של האי-שוויון הרביעי הוא

x<1

לבסוף, נחתוך את כל התוצאות שקיבלנו, והתשובה הסופית היא תחום ההגדרה המקורי של הפונקציה:

x<1\text{  or  }x>1

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה