fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – סכום טור טלסקופי – תרגיל 2561

תרגיל 

חשבו את סכום הטור:

\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+...

תשובה סופית


\frac{1}{2}

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. אנו רואים שכל איבר בטור הוא שבר. במונה תמיד יש 1, ובמכנה מכפלה של שני מספרים אי-זוגיים עוקבים. לכן, האיבר הכללי הוא

a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}

הערה: מומלץ להציב את ה-nים הראשונים ולוודא שמקבלים את האיברים הראשונים של הטור. כך תדעו בוודאות שאין לכם טעות בחישוב ושמצאתם את האיבר הכללי הנכון 🙂

מכאן, צריך לחשב את הסכום של הטור:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}

נשתמש בשיטת פירוק לשברים חלקיים, ונקבל את הפירוק:

\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{\frac{1}{2}}{2n-1}-\frac{\frac{1}{2}}{2n+1}=

=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})

נציב בטור ונקבל:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})=

\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+...]

מהאיברים בטור רואים שקיבלנו טור טלסקופי, שבו כל האיברים מתבטלים, חוץ מהמספר הראשון. לכן, סכום הטור הוא

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה