תרגיל
חשבו את סכום הטור:
(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2})+...
תשובה סופית
פתרון מפורט
נמצא את האיבר הכללי של הטור. אנו רואים שהטור הוא סכום של שני טורים. האחד,
\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...
והשני
\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...
נמצא את הסכום של הטור הראשון. ראשית, נמצא את האיבר הכללי – במונה יש תמיד אחד והמכנה הוא חזקה של 2. לכן, האיבר הכללי של הטור הראשון הוא
a_n=\frac{1}{2^n}
הערה: מומלץ להציב את ה-nים הראשונים ולוודא שמקבלים את האיברים הראשונים של הטור. כך תדעו בוודאות שאין לכם טעות בחישוב ושמצאתם את האיבר הכללי הנכון 🙂
נבדוק אם הטור הוא טור הנדסי. לשם כך, נחשב את המנה של שני איברים עוקבים:
q=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2^{n-1}}}=
=\frac{1}{2^n}\cdot\frac{2^{n-1}}{1}=
=\frac{1}{2}
קיבלנו מספר קבוע, שאינו תלוי ב-n. זה אומר שהטור הוא טור הנדסי. בנוסף, מתקיים:
|q|<1
ולכן הטור ההנדסי מתכנס. נמצא את סכום הטור לפי הגדרה, כלומר נחשב את הגבול:
\lim_{n\rightarrow \infty} S_n
בטור הנדסי מתקיים:
S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}
הערה: שימו לב שכופלים באיבר הראשון של הטור. לא תמיד הוא יהיה שווה לאחד.
נציב בגבול ונקבל:
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}=
נציב את ה-q שמצאנו ונחשב את הגבול:
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{1-{\frac{1}{2}}^n}{1-\frac{1}{2}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{1-{\frac{1}{2}}^n}{\frac{1}{2}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty}1-{\frac{1}{2}}^n=
נציב אינסוף במקום n ונקבל:
=1-0=1
מצאנו את הסכום של הטור הראשון. נמצא את הסכום של הטור השני:
\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...
נמצא את האיבר הכללי – במונה יש תמיד אחד והמכנה הוא חזקה של 3. לכן, האיבר הכללי של הטור השני הוא
a_n=\frac{1}{3^n}
נבדוק אם הטור הוא טור הנדסי. לשם כך, נחשב את המנה של שני איברים עוקבים:
q=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\frac{1}{3^n}}{\frac{1}{3^{n-1}}}=
=\frac{1}{3^n}\cdot\frac{3^{n-1}}{1}=
=\frac{1}{3}
קיבלנו מספר קבוע, שאינו תלוי ב-n. זה אומר שהטור הוא טור הנדסי. בנוסף, מתקיים:
|q|<1
ולכן הטור ההנדסי מתכנס. נמצא את סכום הטור לפי הגדרה, כלומר נחשב את הגבול:
\lim_{n\rightarrow \infty} S_n
בטור הנדסי מתקיים:
S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}
הערה: שימו לב שכופלים באיבר הראשון של הטור. לא תמיד הוא יהיה שווה לאחד.
נציב בגבול ונקבל:
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{3}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}=
נציב את ה-q שמצאנו ונחשב את הגבול:
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{3}\cdot\frac{1-{\frac{1}{3}}^n}{1-\frac{1}{3}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{3}\cdot\frac{1-{\frac{1}{3}}^n}{\frac{2}{3}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2}\cdot(1-{\frac{1}{3}^n})=
נציב אינסוף במקום n ונקבל:
=\frac{1}{2}\cdot(1-0)=\frac{1}{2}
וזה הסכום של הטור השני.
נשתמש בתכונות של טורים (תכונה 3): מכיוון ששני הטורים (הראשון והשני)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}
מתכנסים (סכומם סופי), אז גם הטור בתרגיל:
=\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n})
מתכנס וסכומו הוא סכום התוצאות שמצאנו:
=\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n})=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
