fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – סכום של טורים לפי הגדרה – תרגיל 2552

תרגיל 

חשבו את סכום הטור:

(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2})+...

תשובה סופית


\frac{3}{2}

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. אנו רואים שהטור הוא סכום של שני טורים. האחד,

\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...

והשני

\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...

נמצא את הסכום של הטור הראשון. ראשית, נמצא את האיבר הכללי – במונה יש תמיד אחד והמכנה הוא חזקה של 2. לכן, האיבר הכללי של הטור הראשון הוא

a_n=\frac{1}{2^n}

הערה: מומלץ להציב את ה-nים הראשונים ולוודא שמקבלים את האיברים הראשונים של הטור. כך תדעו בוודאות שאין לכם טעות בחישוב ושמצאתם את האיבר הכללי הנכון 🙂

נבדוק אם הטור הוא טור הנדסי. לשם כך, נחשב את המנה של שני איברים עוקבים:

q=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2^{n-1}}}=

=\frac{1}{2^n}\cdot\frac{2^{n-1}}{1}=

=\frac{1}{2}

קיבלנו מספר קבוע, שאינו תלוי ב-n. זה אומר שהטור הוא טור הנדסי. בנוסף, מתקיים:

|q|<1

ולכן הטור ההנדסי מתכנס. נמצא את סכום הטור לפי הגדרה, כלומר נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} S_n

בטור הנדסי מתקיים:

S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}

הערה: שימו לב שכופלים באיבר הראשון של הטור. לא תמיד הוא יהיה שווה לאחד.

נציב בגבול ונקבל:

\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}=

נציב את ה-q שמצאנו ונחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{1-{\frac{1}{2}}^n}{1-\frac{1}{2}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{1-{\frac{1}{2}}^n}{\frac{1}{2}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty}1-{\frac{1}{2}}^n=

נציב אינסוף במקום n ונקבל:

=1-0=1

מצאנו את הסכום של הטור הראשון. נמצא את הסכום של הטור השני:

\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...

נמצא את האיבר הכללי – במונה יש תמיד אחד והמכנה הוא חזקה של 3. לכן, האיבר הכללי של הטור השני הוא

a_n=\frac{1}{3^n}

נבדוק אם הטור הוא טור הנדסי. לשם כך, נחשב את המנה של שני איברים עוקבים:

q=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\frac{1}{3^n}}{\frac{1}{3^{n-1}}}=

=\frac{1}{3^n}\cdot\frac{3^{n-1}}{1}=

=\frac{1}{3}

קיבלנו מספר קבוע, שאינו תלוי ב-n. זה אומר שהטור הוא טור הנדסי. בנוסף, מתקיים:

|q|<1

ולכן הטור ההנדסי מתכנס. נמצא את סכום הטור לפי הגדרה, כלומר נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} S_n

בטור הנדסי מתקיים:

S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}

הערה: שימו לב שכופלים באיבר הראשון של הטור. לא תמיד הוא יהיה שווה לאחד.

נציב בגבול ונקבל:

\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{3}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}=

נציב את ה-q שמצאנו ונחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{3}\cdot\frac{1-{\frac{1}{3}}^n}{1-\frac{1}{3}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{3}\cdot\frac{1-{\frac{1}{3}}^n}{\frac{2}{3}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2}\cdot(1-{\frac{1}{3}^n})=

נציב אינסוף במקום n ונקבל:

=\frac{1}{2}\cdot(1-0)=\frac{1}{2}

וזה הסכום של הטור השני.

נשתמש בתכונות של טורים (תכונה 3): מכיוון ששני הטורים (הראשון והשני)

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}

מתכנסים (סכומם סופי), אז גם הטור בתרגיל:

=\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n})

מתכנס וסכומו הוא סכום התוצאות שמצאנו:

=\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n})=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה