fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – סכום טור לפי הגדרה – תרגיל 2543

תרגיל 

חשבו את סכום הטור:

1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...

תשובה סופית


\frac{2}{3}

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. אנו רואים שאיברי הטור הם שברים. בכולם המונה שווה לאחד והמכנה חזקה של 2. כמו כן, הסימן של השברים מתחלף – פלוס, מינוס, פלוס, מינוס,… – לכן נוסיף לאיבר הכללי (1-) בחזקה התלויה ב-k. כך נקבל:

1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n-1}}{2^{n-1}}

והאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{{(-1)}^{n-1}}{2^{n-1}}

הערה: מומלץ להציב את ה-nים הראשונים ולוודא שמקבלים את האיברים הראשונים של הטור. כך תדעו בוודאות שאין לכם טעות בחישוב ושמצאתם את האיבר הכללי הנכון 🙂

נבדוק אם הטור הוא הוא טור הנדסי (גיאומטרי):

q=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\frac{{(-1)}^{n-1}}{2^{n-1}}}{\frac{{(-1)}^{(n-1)-1}}{2^{(n-1)-1}}}=

=\frac{\frac{{(-1)}^{n-1}}{2^{n-1}}}{\frac{{(-1)}^{n-2}}{2^{n-2}}}=

=\frac{{(-1)}^{n-1}}{2^{n-1}}\cdot{\frac{2^{n-2}}{{(-1)}^{n-2}}}=-\frac{1}{2}

קיבלנו שהמנה של שני איברים עוקבים שווה לקבוע, ולכן זה טור הנדסי. בנוסף, קיבלנו שמתקיים:

|q|<1

ולכן, הטור ההנדסי מתכנס. נמצא את סכום הטור לפי הגדרה, כלומר נחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} S_n

בטור הנדסי מתקיים:

S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}

הערה: שימו לב שכופלים באיבר הראשון של הטור. לא תמיד הוא יהיה שווה לאחד.

נציב בגבול ונקבל:

\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1-q^n}{1-q}=

נציב את ה-q שמצאנו ונחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1-\frac{-1}{2}^n}{1-\frac{-1}{2}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1-\frac{-1}{2}^n}{1+\frac{1}{2}}=

נציב אינסוף במקום n ונקבל:

=\frac{1-0}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}

מצאנו את סכום הטור.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה