תרגיל
חשבו את סכום הטור:
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...
תשובה סופית
פתרון מפורט
נמצא את האיבר הכללי של הטור. אנו רואים שאיברי הטור הם שברים. בכולם המונה שווה לאחד והמכנה חזקה של 2. כמו כן, הסימן של השברים מתחלף – פלוס, מינוס, פלוס, מינוס,… – לכן נוסיף לאיבר הכללי (1-) בחזקה התלויה ב-k. כך נקבל:
1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n-1}}{2^{n-1}}
והאיבר הכללי הוא
a_n=\frac{{(-1)}^{n-1}}{2^{n-1}}
הערה: מומלץ להציב את ה-nים הראשונים ולוודא שמקבלים את האיברים הראשונים של הטור. כך תדעו בוודאות שאין לכם טעות בחישוב ושמצאתם את האיבר הכללי הנכון 🙂
נבדוק אם הטור הוא הוא טור הנדסי (גיאומטרי):
q=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\frac{{(-1)}^{n-1}}{2^{n-1}}}{\frac{{(-1)}^{(n-1)-1}}{2^{(n-1)-1}}}=
=\frac{\frac{{(-1)}^{n-1}}{2^{n-1}}}{\frac{{(-1)}^{n-2}}{2^{n-2}}}=
=\frac{{(-1)}^{n-1}}{2^{n-1}}\cdot{\frac{2^{n-2}}{{(-1)}^{n-2}}}=-\frac{1}{2}
קיבלנו שהמנה של שני איברים עוקבים שווה לקבוע, ולכן זה טור הנדסי. בנוסף, קיבלנו שמתקיים:
|q|<1
ולכן, הטור ההנדסי מתכנס. נמצא את סכום הטור לפי הגדרה, כלומר נחשב את הגבול:
\lim_{n\rightarrow \infty} S_n
בטור הנדסי מתקיים:
S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}
הערה: שימו לב שכופלים באיבר הראשון של הטור. לא תמיד הוא יהיה שווה לאחד.
נציב בגבול ונקבל:
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1-q^n}{1-q}=
נציב את ה-q שמצאנו ונחשב את הגבול:
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1-\frac{-1}{2}^n}{1-\frac{-1}{2}}=
=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1-\frac{-1}{2}^n}{1+\frac{1}{2}}=
נציב אינסוף במקום n ונקבל:
=\frac{1-0}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}
מצאנו את סכום הטור.
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
