fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

טורים מספריים – סכום של הפרש טורים – תרגיל 2564

תרגיל 

חשבו את סכום הטור:

\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^n} - \frac{7}{6^n})

תשובה סופית


-\frac{2}{5}

פתרון

הטור הוא סכום של שני טורים. האחד,

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}

והשני

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7}{6^n}

נמצא את הסכום של הטור הראשון. ראשית, נבדוק אם הטור הוא טור הנדסי. לשם כך, נחשב את המנה של שני איברים עוקבים:

q=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2^{n-1}}}=

=\frac{1}{2^n}\cdot\frac{2^{n-1}}{1}=

=\frac{1}{2}

קיבלנו מספר קבוע, שאינו תלוי ב-n. זה אומר שהטור הוא טור הנדסי. בנוסף, מתקיים:

|q|<1

ולכן הטור ההנדסי מתכנס. נמצא את סכום הטור לפי נוסחת סכום של טור הנדסי ונקבל:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1

קיבלנו שסכום הטור הראשון הוא 1. נמצא את הסכום של הטור השני:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7}{6^n}=7\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{6^n}

נבדוק אם הטור הוא טור הנדסי. לשם כך, נחשב את המנה של שני איברים עוקבים:

q=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\frac{1}{6^n}}{\frac{1}{6^{n-1}}}=

=\frac{1}{6^n}\cdot\frac{6^{n-1}}{1}=

=\frac{1}{6}

קיבלנו מספר קבוע, שאינו תלוי ב-n. זה אומר שהטור הוא טור הנדסי. בנוסף, מתקיים:

|q|<1

ולכן הטור ההנדסי מתכנס. נמצא את סכום הטור לפי נוסחת סכום של טור הנדסי ונקבל:

7\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{6^n}=7\cdot\frac{\frac{1}{6}}{1-\frac{1}{6}}=

=\frac{\frac{7}{6}}{\frac{5}{6}}=\frac{7}{5}

וזה הסכום של הטור השני.

נשתמש בתכונות של טורים (תכונה 3): מכיוון ששני הטורים מתכנסים (סכומם סופי), אז גם הטור:

\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^n} - \frac{7}{6^n})

מתכנס ומתקיים:

\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^n} - \frac{7}{6^n})=1-\frac{7}{5}=-\frac{2}{5}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?