תרגיל
חשבו את סכום הטור:
\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^n} - \frac{7}{6^n})
תשובה סופית
פתרון מפורט
הטור הוא סכום של שני טורים. האחד,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}
והשני
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7}{6^n}
נמצא את הסכום של הטור הראשון. ראשית, נבדוק אם הטור הוא טור הנדסי. לשם כך, נחשב את המנה של שני איברים עוקבים:
q=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2^{n-1}}}=
=\frac{1}{2^n}\cdot\frac{2^{n-1}}{1}=
=\frac{1}{2}
קיבלנו מספר קבוע, שאינו תלוי ב-n. זה אומר שהטור הוא טור הנדסי. בנוסף, מתקיים:
|q|<1
ולכן הטור ההנדסי מתכנס. נמצא את סכום הטור לפי נוסחת סכום של טור הנדסי ונקבל:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1
קיבלנו שסכום הטור הראשון הוא 1. נמצא את הסכום של הטור השני:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7}{6^n}=7\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{6^n}
נבדוק אם הטור הוא טור הנדסי. לשם כך, נחשב את המנה של שני איברים עוקבים:
q=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\frac{1}{6^n}}{\frac{1}{6^{n-1}}}=
=\frac{1}{6^n}\cdot\frac{6^{n-1}}{1}=
=\frac{1}{6}
קיבלנו מספר קבוע, שאינו תלוי ב-n. זה אומר שהטור הוא טור הנדסי. בנוסף, מתקיים:
|q|<1
ולכן הטור ההנדסי מתכנס. נמצא את סכום הטור לפי נוסחת סכום של טור הנדסי ונקבל:
7\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{6^n}=7\cdot\frac{\frac{1}{6}}{1-\frac{1}{6}}=
=\frac{\frac{7}{6}}{\frac{5}{6}}=\frac{7}{5}
וזה הסכום של הטור השני.
נשתמש בתכונות של טורים (תכונה 3): מכיוון ששני הטורים מתכנסים (סכומם סופי), אז גם הטור:
\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^n} - \frac{7}{6^n})
מתכנס ומתקיים:
\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2^n} - \frac{7}{6^n})=1-\frac{7}{5}=-\frac{2}{5}
עזרתי לך להבין את החומר? מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? כתב/י תגובה למטה ואשמח לענות 🙂
