fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – מבחן התכנסות למנה של פולינומים – תרגיל 2719

תרגיל 

האם הטור:

\frac{1}{1001}+\frac{1}{2001}+\frac{1}{3001}+...

מתכנס?

תשובה סופית


הטור מתבדר

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש את המספר 1, ובמכנה של כל השברים יש מספרים בהפרש של 1000. כך מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{1}{1000n+1}

והטור שלנו הוא

\sum_1^{\infty} a_n=\sum_1^{\infty} \frac{1}{1000n+1}

כאשר יש מנה של פונקציות מצורת פולינום, אבל עם מספרים בחזקה (גם ממשיים, ולא רק שלמים), זה רמז להשתמש במבחן ההשוואה השני.

נגדיר טור בעל חזקה מובילה זהה לטור המקורי. בתרגיל שלנו, נגדיר את הטור:

b_n=\frac{1}{n}

ונחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=

נציב את הטורים:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{1000n+1}}{\frac{1}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n}{1000n+1}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n}{n}}{\frac{1000n+1}{n}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{1000+\frac{1}{n}}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1}{1000+0}=\frac{1}{1000}

מכיוון שמתקיים:

0<\frac{1}{1000}<\infty

ממבחן ההשוואה השני נובע ששני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד. הטור שהגדרנו 

b_n=\frac{1}{n}

הוא טור הרמוני מתבדר. לכן, גם הטור שלנו

a_n=\frac{1}{1000n+1}

מתבדר.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה