fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

טורים מספריים – בדיקת התכנסות בהחלט ובתנאי לטור מחליף סימן עם מנה של פולינומים – תרגיל 2843

תרגיל 

בדקו אם הטור:

1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+...

מתכנס בהחלט, בתנאי או מתבדר?

תשובה סופית


הטור מתכנס בהחלט

פתרון

נמצא את האיבר הכללי של הטור. נשים לב שבמונה של כל השברים יש את המספר 1, ובמכנה של כל השברים יש רצף מספרים אי-זוגיים עוקבים המתחילים מ-1. הנוסחה לרצף כזה היא 2n-1. בנוסף, הטור מחליף סימן – חיובי, שלילי, חיובי, שלילי, וכו’. הנוסחה להחלפת סימן היא (1-) בחזקה n-ית. מקבלים שהאיבר הכללי הוא

a_n=\frac{{(-1)}^{n+1}}{{(2n-1)}^3}

והטור שלנו הוא

\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(-1)}^{n+1}}{{(2n-1)}^3}

הערה: לאחר שמוצאים את הנוסחה של הטור, מומלץ להציב את האיברים הראשונים ולוודא שמקבלים את איברי הטור. אם לא, יש טעות בחישוב האיבר הכללי או טעות בקביעת טווח הטור (מאיזה n מתחילים).

הטור אינו טור חיובי אלא טור מחליף סימן. לכן, נבדוק אם הטור מתכנס בהחלט. כלומר, נבדוק אם הטור בערך מוחלט מתכנס:

\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty} |\frac{{(-1)}^{n+1}}{{(2n-1)}^3}|=

=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{(2n-1)}^3}

כאשר יש מנה של פולינומים (אפילו עם חזקות מקבוצת המספרים הממשיים ולא רק שלמים), זה רמז להשתמש במבחן ההשוואה השני.

לשם כך, נגדיר טור בעל חזקה מובילה הזהה לטור המקורי. בתרגיל שלנו, נגדיר את הטור:

b_n=\frac{1}{n^3}

ונחשב את הגבול:

\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=

נציב את הטורים:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{{(2n-1)}^3}}{\frac{1}{n^3}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n^3}{{(2n-1)}^3}=

נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה ביותר:

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{n^3}{n^3}}{\frac{{(2n-1)}^3}{n^3}}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{{(\frac{2n-1}{n})}^3}=

=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{{(2-\frac{1}{n})}^3}=

נציב אינסוף ונקבל:

=\frac{1}{{(2-0)}^3}=\frac{1}{8}

מכיוון שמתקיים:

0<\frac{1}{8}<\infty

ממבחן ההשוואה השני נובע ששני הטורים מתכנסים או מתבדרים יחד. נראה שהטור שהגדרנו

b_n=\frac{1}{n^3}

מתכנס. ראשית, איבריו חיוביים לכל n. שנית, לכל n מתקיים:

n^3<{(n+1)}^3

מכאן, מתקיים:

\frac{1}{n^3}>\frac{1}{{(n+1)}^3}

כלומר, קיבלנו שמתקיים:

b_n>b_{n+1}

זה אומר שהסדרה מונוטונית יורדת. שני התנאים של מבחן האינטגרל מתקיימים, לכן נוכל להשתמש במבחן זה.

לשם כך, נגדיר פונקציה שתקיים:

f(n)=b_n

כלומר, נגדיר את הפונקציה:

f(x) =\frac{1}{x^3}

כעת, נחשב את האינטגרל על הפונקציה. גבולות האינטגרציה יהיו קצות התחום של הטור המקורי. נקבל:

\int_1^{\infty} \frac{1}{x^3}dx

זה אינטגרל לא אמיתי עם גבול אינטגרציה אינסופי. לכן, נוסיף גבול לאינסוף ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_1^{t} \frac{1}{x^3}dx=

=\lim_{t\rightarrow \infty}\int_1^{t} x^{-3}dx=

קיבלנו אינטגרל מיידי. נשתמש בנוסחת אינטגרל המתאימה ונקבל:

=\lim_{t\rightarrow \infty}[\frac{x^{(-2)}}{-2}]_{1}^{t}=

=\lim_{t\rightarrow \infty}[\frac{-1}{2x^2}]_{1}^{t}=

נציב את גבולות האינטגרציה (גבול עליון פחות גבול תחתון):

=\lim_{t\rightarrow \infty}(\frac{-1}{2t^2}-\frac{-1}{2\cdot 1^2})=

נציב אינסוף ונקבל:

=0-(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}<\infty

קיבלנו תוצאה סופית, ולכן האינטגרל מתכנס. מכאן, לפי מבחן האינטגרל, גם הטור מתכנס.

לכן, הטור המקורי מתכנס בהחלט. מכאן, הוא גם מתכנס.

הערה: השתמשנו במשפט האומר, שטור מתכנס בהחלטמתכנס.

פתרון מפורט בוידאו

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה