fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל קווי מסוג ראשון – מסלול של משולש – תרגיל 3119

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_c (x+y) dl

כאשר c הוא משולש בעל הקודקודים: (0,0), (0,1), (1,0).

תשובה סופית


\int_c (x+y) dl=1+\sqrt{2}

פתרון

אנו צריכים לחשב אינטגרל קווי מסוג ראשון.

שלב ראשון, נשרטט את המסלול c. נחבר בין הנקודות ונקבל משולש. המשוואות המרכיבות אותו הן:

x=0, y=0, x+y=1

c נראה כך:

תחום משולש במישור XY

המסלול c הוא הליכה על גבולות המשולש בשרטוט. נפתור את האינטגרל על כל צלע במשולש בנפרד ונחבר בסוף את התוצאות.

קטע ראשון, נפתור את האינטגרל על הישר:

x+y=1

זהו היתר של המשולש. נעביר אותו להצגה פרמטרית. לשם כך, נגדיר:

x=t

ונקבל:

y=1-t

והטווח של t הוא

0\leq t\leq 1

נציב את זה באינטגרל במקום הפונקציה, ונבצע את ההמרה:

dl=\sqrt{{(x'(t))}^2+{(y'(t))}^2}

נקבל:

\int_0^1 (t+(1-t))\cdot \sqrt{1^2+{(-1)}^2}dt=

קיבלנו אינטגרל מסוים במשתנה אחד t. נסדר אותו:

=\int_0^1\sqrt{2}dt=

נפתור את האינטגרל ונציב את גבולות האינטגרציה:

=[\sqrt{2}t]_0^1=

=\sqrt{2}\cdot 1-\sqrt{2}\cdot 0=

=\sqrt{2}

קטע שני, נפתור את האינטגרל על הישר:

y=0

זו הצלע האופקית של המשולש. נעביר את הישר להצגה פרמטרית. במקרה זה מתקיים:

x=t

וגם כאן הטווח של t הוא

0\leq t\leq 1

נציב את זה באינטגרל במקום הפונקציה, עם ההמרה:

dl=\sqrt{{(x'(t))}^2+{(y'(t))}^2}

נקבל:

\int_0^1(t+0)\cdot \sqrt{1^2+0^2}dt=

קיבלנו אינטגרל מסוים במשתנה אחד t. נסדר אותו:

=\int_0^1tdt=

נפתור את האינטגרל ונציב את גבולות האינטגרציה:

=[\frac{t^2}{2}]_0^1=

=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=

=\frac{1}{2}

קטע שלישי ואחרון, נפתור את האינטגרל על הישר:

x=0

זו הצלע האנכית של המשולש. נעביר את הישר להצגה פרמטרית. במקרה זה מתקיים:

y=t

וגם כאן הטווח של t הוא

0\leq t\leq 1

נציב את זה באינטגרל במקום הפונקציה, עם ההמרה:

dl=\sqrt{{(x'(t))}^2+{(y'(t))}^2}

נקבל:

\int_0^1(0+t)\cdot \sqrt{0^2+1^2}dt=

קיבלנו אינטגרל מסוים במשתנה אחד t. נסדר אותו:

=\int_0^1tdt=

נפתור את האינטגרל ונציב את גבולות האינטגרציה:

=[\frac{t^2}{2}]_0^1=

=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=

=\frac{1}{2}

נחבר את כל התוצאות ונקבל:

\int_c (x+y) dl=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\sqrt{2}=1+\sqrt{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה