fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל קווי מסוג ראשון – מסלול עם ערך מוחלט – תרגיל 3504

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_c (x+y) dl

כאשר c הוא

c=\{(x,y) : |x|+|y|=1\}

תשובה סופית


\int_c (x+y) dl=0

פתרון

אנו צריכים לחשב אינטגרל קווי מסוג ראשון.

שלב ראשון, נשרטט את המסלול c. נחבר בין הנקודות ונקבל מרובע. לפי הגדרת ערך מוחלט, נקבל שהמשוואות המרכיבות אותו הן:

x>0,y>0, x+y=1

x>0,y<0, x-y=1

x<0,y>0, -x+y=1

x<0,y<0, -x-y=1

c נראה כך:

תחום מעוין עם ערך מוחלט

המסלול c הוא הליכה על גבולות המרובע בשרטוט. נפתור את האינטגרל על כל צלע במרובע בנפרד ונחבר בסוף את התוצאות.

קטע ראשון, נפתור את האינטגרל על הישר:

x+y=1

נעביר אותו להצגה פרמטרית. לשם כך, נגדיר:

x=t

ונקבל:

y=1-t

והטווח של t הוא

0\leq t\leq 1

נציב את זה באינטגרל במקום הפונקציה, ונבצע את ההמרה:

dl=\sqrt{{(x'(t))}^2+{(y'(t))}^2}

נקבל:

\int_0^1 (t+(1-t))\cdot \sqrt{1^2+{(-1)}^2}dt=

קיבלנו אינטגרל מסוים במשתנה אחד t. נסדר אותו:

=\int_0^1\sqrt{2}dt=

נפתור את האינטגרל ונציב את גבולות האינטגרציה:

=[\sqrt{2}t]_0^1=

=\sqrt{2}\cdot 1-\sqrt{2}\cdot 0=

=\sqrt{2}

קטע שני, נפתור את האינטגרל על הישר:

x-y=1

נעביר את הישר להצגה פרמטרית. שוב נגדיר:

x=t

ונקבל:

y=t-1

והטווח של t הוא

0\leq t\leq 1

נציב את זה באינטגרל במקום הפונקציה, עם ההמרה:

dl=\sqrt{{(x'(t))}^2+{(y'(t))}^2}

נקבל:

\int_0^1(t+(t-1))\cdot \sqrt{1^2+1^2}dt=

קיבלנו אינטגרל מסוים במשתנה אחד t. נסדר אותו:

=\int_0^1(2t-1)\cdot \sqrt{2}dt=

=\sqrt{2}\int_0^1(2t-1)dt=

נפתור את האינטגרל ונציב את גבולות האינטגרציה:

=\sqrt{2}[\frac{2t^2}{2}-t]_0^1=

=\sqrt{2}[t^2-t]_0^1=

=\sqrt{2}[(1^2-1)-(0^2-0)]=0

קטע שלישי, נפתור את האינטגרל על הישר:

-x+y=1

נעביר את הישר להצגה פרמטרית. שוב נגדיר:

x=t

והפעם נקבל:

y=1+t

והטווח של t הוא

-1\leq t\leq 0

נציב את זה באינטגרל במקום הפונקציה, עם ההמרה:

dl=\sqrt{{(x'(t))}^2+{(y'(t))}^2}

ונקבל:

\int_{-1}^0(t+(1+t))\cdot \sqrt{1^2+1^2}dt=

קיבלנו אינטגרל מסוים במשתנה אחד t. נסדר אותו:

=\int_{-1}^0(2t+1)\cdot \sqrt{2}dt=

=\sqrt{2}\int_{-1}^0(2t+1)dt=

נפתור את האינטגרל ונציב את גבולות האינטגרציה:

=\sqrt{2}[\frac{2t^2}{2}+t]_{-1}^0=

=\sqrt{2}[t^2+t]_{-1}^0=

=\sqrt{2}[(0^2+0)-({(-1)}^2+(-1))]=

=\sqrt{2}[0-0]=0

קטע רביעי ואחרון, נפתור את האינטגרל על הישר:

-x-y=1

נעביר את הישר להצגה פרמטרית. שוב נגדיר:

x=t

והפעם נקבל:

y=-t-1

והטווח של t הוא

-1\leq t\leq 0

נציב את זה באינטגרל במקום הפונקציה, עם ההמרה:

dl=\sqrt{{(x'(t))}^2+{(y'(t))}^2}

ונקבל:

\int_{-1}^0(t-t-1)\cdot \sqrt{1^2+{(-1)}^2}dt=

קיבלנו אינטגרל מסוים במשתנה אחד t. נסדר אותו:

=\int_{-1}^0(-1)\cdot \sqrt{2}dt=

=-\sqrt{2}\int_{-1}^0dt=

נפתור את האינטגרל ונציב את גבולות האינטגרציה:

=-\sqrt{2}[t]_{-1}^0=

=-\sqrt{2}[(0)-(-1)]=-\sqrt{2}

נחבר את כל התוצאות ונקבל:

\int_c (x+y) dl=\sqrt{2}+0+0-\sqrt{2}=0

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה