fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל קווי מסוג ראשון – מסלול של ציקלואידה – תרגיל 3510

תרגיל 

חשבו את האינטגרל

\int_c y^2 dl

כאשר c מקיימת:

a>0, x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)

והטווח של t הוא

0\leq t\leq 2\pi

תשובה סופית


\int_c y^2 dl=\frac{256}{15}a^3

פתרון

אנו צריכים לחשב אינטגרל קווי מסוג ראשון.

קיבלנו את c בהצגה פרמטרית. נציב אותה באינטגרל, עם ההמרה:

dl=\sqrt{{(x'(t))}^2+{(y'(t))}^2}

ונקבל:

\int_0^{2\pi}{(a(1-\cos t))}^2\cdot \sqrt{{(a(1-\cos t))}^2+{(-a\sin t)}^2}dt=

קיבלנו אינטגרל מסוים במשתנה אחד t. נסדר אותו:

=\int_0^{2\pi} a^2{(1-\cos t)}^2\cdot \sqrt{a^2{(1-\cos t)}^2+a^2{(\sin t)}^2}dt=

=a^3\int_0^{2\pi} {(1-\cos t)}^2\cdot \sqrt{1-2\cos t +\cos^2 t+\sin^2 t}dt=

=a^3\int_0^{2\pi} {(1-\cos t)}^2\cdot \sqrt{1-2\cos t +1}dt=

=a^3\int_0^{2\pi} {(1-\cos t)}^2\cdot \sqrt{2-2\cos t}dt=

=a^3\int_0^{2\pi} {(1-\cos t)}^2\cdot \sqrt{2(1-\cos t)}dt=

=\sqrt{2}a^3\int_0^{2\pi} {(1-\cos t)}^2\cdot \sqrt{1-\cos t}dt=

נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

2\sin^2 \frac{t}{2}=1-\cos t

נציב באינטגרל ונקבל:

=\sqrt{2}a^3\int_0^{2\pi} {(2\sin^2 \frac{t}{2})}^2\cdot \sqrt{2\sin^2 \frac{t}{2}}dt=

=\sqrt{2}a^3\int_0^{2\pi} 4\sin^4 \frac{t}{2}\cdot \sqrt{2}\sin \frac{t}{2}dt=

=8a^3\int_0^{2\pi} \sin^5 \frac{t}{2}dt=

נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\sin^5 t=\frac{10\sin t-5\sin (3t)+\sin (5t)}{16}

הערה: אפשר להימנע משימוש בזהות הטריגונומטרית הזאת ולהשתמש בהצבה טריגונומטרית. דוגמה להצבה דומה בתרגיל זה.

נציב את הזהות באינטגרל ונקבל:

=8a^3\int_0^{2\pi} \frac{10}{16}\sin\frac{t}{2}-\frac{5}{16}\sin \frac{3t}{2}+\frac{1}{16}\sin \frac{5t}{2}dt=

קיבלנו אינטגרל מידי. נפתור את האינטגרל ונציב את גבולות האינטגרציה:

=8a^3[\frac{10}{16}\cdot\frac{-\cos\frac{t}{2}}{\frac{1}{2}}-\frac{5}{16}\cdot\frac{-\cos\frac{3t}{2}}{\frac{3}{2}}+\frac{1}{16}\cdot \frac{-\cos\frac{5t}{2}}{\frac{5}{2}}]_0^{2\pi}=

=8a^3[\frac{-5}{4}\cdot\cos\frac{t}{2}+\frac{5}{24}\cdot\cos\frac{3t}{2}-\frac{1}{40}\cdot \cos\frac{5t}{2}]_0^{2\pi}=

=8a^3[\frac{-5}{4}\cdot\cos\frac{2\pi}{2}+\frac{5}{24}\cdot\cos\frac{3\cdot 2\pi}{2}-\frac{1}{40}\cdot \cos\frac{5\cdot 2\pi}{2}-(\frac{-5}{4}\cdot\cos\frac{0}{2}+\frac{5}{24}\cdot\cos\frac{0}{2}-\frac{1}{40}\cdot \cos\frac{0}{2})]=

=8a^3[\frac{-5}{4}\cdot\ (-1)+\frac{5}{24}\cdot (-1)-\frac{1}{40}\cdot (-1)-(\frac{-5}{4}\cdot 1+\frac{5}{24}\cdot 1-\frac{1}{40}\cdot 1)]=

=8a^3[\frac{5}{4}-\frac{5}{24}+\frac{1}{40}+\frac{5}{4}-\frac{5}{24}+\frac{1}{40}]=

=8a^3\cdot \frac{32}{15}=

=\frac{256}{15}a^3

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה