fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?

מבחנים – חישוב אורך עקומה לסכום של פולינום ופונקציה רציונלית – תרגיל 7761

תרגיל 

(שאלה זו הופיעה במבחן)

נתונה הפונקציה:

f(x)=\frac{x^4}{16}+\frac{1}{2x^2}

חשבו את אורך גרף הפונקציה בקטע:

[-2,-1]

תשובה סופית


1\frac{5}{16}

פתרון

אורך עקומה מחשבים בעזרת אינטגרל קווי מסוג ראשון לפי הנוסחה:

\int_{-2}^{-1} dl

נעבור לאינטגרל לפי משתנה x בעזרת ההמרה:

dl=\sqrt{1+{(f'(x))}^2} dx

כלומר, נפתור את האינטגרל:

\int_{-2}^{-1} \sqrt{1+{(f'(x))}^2} dx

נחשב את הנגזרת:

f'(x)=\frac{4x^3}{16}+\frac{1}{2}\cdot (-2)\cdot x^{-3}=

נסדר את הנגזרת:

=\frac{x^3}{4}-x^{-3}

נציב את הנגזרת באינטגרל:

\int_{-2}^{-1} \sqrt{1+{(f'(x))}^2} dx=

\int_{-2}^{-1} \sqrt{1+{(\frac{x^3}{4}-x^{-3})}^2} dx=

נפתור את האינטגרל. אנו צריכים להגיע לביטוי שיהיה אפשר לעשות על אינטגרל. נתחיל מפתיחת סוגריים:

\int_{-2}^{-1} \sqrt{1+\frac{x^6}{16}-\frac{1}{2}+x^{-6}}dx=

נצמצם:

\int_{-2}^{-1} \sqrt{\frac{x^6}{16}+\frac{1}{2}+x^{-6}} dx

כעת נרצה להפוך את הביטוי שבתוך השורש לאיבר ריבועי, כדי שהחזקה הריבועית והשורש יצטמצמו. לשם כך, נשתמש בשיטה הנקראת השלמה לריבוע. הביטוי בשורש הוא

\frac{x^6}{16}+\frac{1}{2}+x^{-6}

נעשה שורש על האיבר בעל החזקה הגבוהה ונקבל:

\sqrt{\frac{x^6}{16}}=\frac{x^3}{4}

עכשיו, אנו רוצים למצוא b שמקיים את השוויון:

\frac{x^6}{16}+\frac{1}{2}+x^{-6}={(\frac{x^3}{4}+b)}^2=

נפתח את הסוגריים באגף ימין ונקבל:

=\frac{x^6}{16}+2b\frac{x^3}{4}+b^2

כדי שהשוויון יתקיים, שני השוויונים האלה צריכים להתקיים:

b^2=x^{-6}

2b\frac{x^3}{4}=\frac{1}{2}

ה-b שמקיים את שני השוויונים הוא

b=x^{-3}

נבדוק זאת – נציב את ה-b שמצאנו באיבר הריבועי ונפתח סוגריים לפי נוסחת הכפל המקוצר (מעלה שנייה, נוסחה ראשונה) נקבל:

{(\frac{x^3}{4}+x^{-3})}^2=

={(\frac{x^3}{4})}^2+2\cdot\frac{x^3}{4}\cdot x^{-3}+{(x^{-3})}^2=

=\frac{x^6}{16}+\frac{1}{2}+x^{-6}

הגענו לביטוי המקורי כנדרש.

נכניס אותו לשורש, כדי לקבל את הביטוי שבאינטגרל:

\sqrt{\frac{x^6}{16}+\frac{1}{2}+x^{-6}}=

=\sqrt{{(\frac{x^3}{4}+x^{-3})}^2}=

עכשיו, נשתמש בהגדרת ערך מוחלט ונקבל את השוויון:

=|\frac{x^3}{4}+x^{-3}|

כעת, אפשר להחליף את הביטוי שבאינטגרל בביטוי שקיבלנו:

\int_{-2}^{-1} |\frac{x^3}{4}+x^{-3}| dx=

שוב, נשתמש בהגדרת ערך מוחלט, כדי להיפטר ממנו. מכיוון שבקטע:

[-2,-1]

הביטוי שבערך המוחלט שלילי, אז לפי הגדרת ערך מוחלט, מקבלים:

\int_{-2}^{-1} -(\frac{x^3}{4}+x^{-3}) dx=

נוציא את המינוס מחוץ לאינטגרל:

-\int_{-2}^{-1} \frac{x^3}{4}+x^{-3} dx=

הגענו לאינטגרל מידי. נפתור אותו בעזרת נוסחאות אינטגרציה ונקבל:

=-[\frac{x^4}{16}+\frac{x^{-2}}{-2}]_{-2}^{-1}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=-[\frac{{(-1)}^4}{16}+\frac{{(-1)}^{-2}}{-2}-(\frac{{(-2)}^4}{16}+\frac{{(-2)}^{-2}}{-2})]=

=-[\frac{1}{16}+\frac{1}{-2}-(\frac{16}{16}+\frac{\frac{1}{4}}{-2})]=

=-[\frac{1}{16}+\frac{1}{-2}-1-\frac{1}{-8}]=

=-[\frac{1}{16}-\frac{3}{2}+\frac{1}{8}]=

=-(-1\frac{5}{16})=

=1\frac{5}{16}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

כדאי ללמוד ביחד - שתפו עכשיו

כתיבת תגובה

רוצה 5 טיפים להצלחה בטוחה בחדו"א?