fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל קווי מסוג ראשון – מסלול של קו הבורג – תרגיל 3513

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_c (x^2+y^2+z^2) dl

כאשר c מקיימת:

r(t)=2\cos t i+2\sin t j +t k

והטווח של t הוא

0\leq t\leq 2\pi

תשובה סופית


\int_c (x^2+y^2+z^2) dl=\sqrt{5}(8\pi+\frac{8}{3}{\pi}^3)

פתרון

אנו צריכים לחשב אינטגרל קווי מסוג ראשון.

קיבלנו את c בהצגה פרמטרית וקטורית. נעביר להצגה פרמטרית שתקל עלינו בהצבה באינטגרל כך – המקדם של i הוא x, המקדם של j הוא y והמקדם של k הוא z. כלומר

x(t)= 2\cos t

y(t)= 2\sin t

z(t)= t

נציב באינטגרל, עם ההמרה

dl=\sqrt{{(x'(t))}^2+{(y'(t))}^2+{(z'(t))}^2}

ונקבל:

\int_0^{2\pi} (4\cos^2 t+4\sin^2 t+t^2)\cdot \sqrt{{(-2\sin t)}^2+{(2\cos t)}^2 +1^2}dt=

קיבלנו אינטגרל מסוים במשתנה אחד t. נסדר אותו:

=\int_0^{2\pi} (4+t^2)\cdot \sqrt{4\sin^2 t+4\cos^2 t +1}dt=

=\int_0^{2\pi} (4+t^2)\cdot \sqrt{5}dt=

=\sqrt{5}\int_0^{2\pi} (4+t^2) dt=

שימו לב שהשתמשנו לעיל בזהות הטריגונומטרית:

\sin^2 +\cos^2 t=1

קיבלנו אינטגרל מידי. נפתור את האינטגרל ונציב את גבולות האינטגרציה:

=\sqrt{5}[4t+\frac{t^3}{3}]_0^{2\pi}=

=\sqrt{5}[4\cdot 2\pi+\frac{{(2\pi)}^3}{3}-(4\cdot 0+\frac{0^3}{3})]=

=\sqrt{5}[8\pi+\frac{{(2\pi)}^3}{3}-0]=

=\sqrt{5}(8\pi+\frac{8}{3}{\pi}^3)

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה