fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל קווי מסוג ראשון – מסלול של פונקציה וקטורית בשלושה משתנים – תרגיל 3516

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_c (2z-\sqrt{x^2+y^2}) dl

כאשר c מקיימת:

r(t)=t\cos t i+t\sin t j +t k

והטווח של t הוא

0\leq t\leq 2\pi

תשובה סופית


\int_c (2z-\sqrt{x^2+y^2}) dl=\frac{\sqrt{8}}{3}[\sqrt{{(1+2{\pi}^2)}^3}-1]

פתרון

אנו צריכים לחשב אינטגרל קווי מסוג ראשון.

קיבלנו את c בהצגה פרמטרית וקטורית. נעביר להצגה פרמטרית שתקל עלינו בהצבה באינטגרל כך – המקדם של i הוא x, המקדם של j הוא y והמקדם של k הוא z. כלומר

x(t)= t\cos t

y(t)= t\sin t

z(t)= t

נציב באינטגרל, עם ההמרה

dl=\sqrt{{(x'(t))}^2+{(y'(t))}^2+{(z'(t))}^2}

ונקבל:

\int_0^{2\pi} (2t-\sqrt{t^2\cos^2 t+t^2\sin^2 t})\cdot \sqrt{{(\cos t-t\sin t)}^2+{(\sin t+t\cos t)}^2 +1^2}dt=

קיבלנו אינטגרל מסוים במשתנה אחד t. נסדר אותו:

=\int_0^{2\pi} (2t-\sqrt{t^2})\cdot \sqrt{\cos^2-2t\cos t\sin t+t^2\sin^2+\sin^2 t+2t\sin t\cos t+t^2\cos^2 t+1}dt=

=\int_0^{2\pi} (2t-t)\cdot \sqrt{\cos^2-2t\cos t\sin t+\sin^2 t+2t\sin t\cos t+t^2+1}dt=

=\int_0^{2\pi} (2t-t)\cdot \sqrt{\cos^2+\sin^2 t+t^2+1}dt=

=\int_0^{2\pi} t\cdot \sqrt{1+t^2+1}dt=

=\int_0^{2\pi} t\cdot \sqrt{2+t^2}dt=

שימו לב שהשתמשנו לעיל בזהות הטריגונומטרית:

\sin^2 +\cos^2 t=1

קיבלנו ביטוי באינטגרל שהוא פונקציה יחד עם הנגזרת שלה. זה מצב קלאסי לשיטת ההצבה. לשם כך, נגדיר:

u=t^2+2

ונקבל:

du=2tdt

נעביר אגף, כדי לקבל את הביטוי שמופיע באינטגרל, ונקבל:

\frac{1}{2}du=tdt

נציב את המשתנה t באינטגרל ונקבל:

=\frac{1}{2}\int_2^{4{\pi}^2+2}\sqrt{u}du=

=\frac{1}{2}\int_2^{4{\pi}^2+2}u^{\frac{1}{2}}du=

קיבלנו אינטגרל מידי. נפתור אותו:

=\frac{1}{2}[\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]_2^{4{\pi}^2+2}=

זה אינטגרל מסוים, אז נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{1}{2}[\frac{{(4{\pi}^2+2)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{2^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]=

נפתור ונקבל:

=\frac{1}{3}[{(4{\pi}^2+2)}^{\frac{3}{2}}-2^{\frac{3}{2}}]=

=\frac{\sqrt{8}}{3}[\sqrt{{(1+2{\pi}^2)}^3}-1]

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה