fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

תחום הגדרה במספר משתנים – פונקציה עם מכפלה בתוך שורש – תרגיל 3131

תרגיל 

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה:

z(x,y)=\sqrt{(x^2+y^2-1)(2-x^2-y^2)}

תשובה סופית


1\leq x^2+y^2\leq 2

פתרון

נמצא את תחום ההגדרה. יש בפונקציה שורש, ולכן נדרוש שהביטוי בתוך השורש יהיה גדול או שווה לאפס, כלומר

(x^2+y^2-1)(2-x^2-y^2)\geq 0

מכפלה חיובית אם שני האיברים חיוביים או שניהם שליליים. נבחן את שתי האפשרויות:

אפשרות ראשונה – שני האיברים במכפלה חיוביים:

x^2+y^2-1\geq 0

וגם

2-x^2-y^2\geq 0

נפתור את האי-שוויון הראשון:

x^2+y^2-1\geq 0

x^2+y^2\geq 1

קיבלנו תחום שכולל את כל הנקודות שעל מעגל יחידה ברדיוס 1 ומחוצה לו.

נפתור את האי-שוויון השני:

2-x^2-y^2\geq 0

x^2+y^2\leq 2

קיבלנו תחום שכולל את כל הנקודות שעל מעגל יחידה ברדיוס 2 ובתוכו.

נחתוך את שני הפתרונות בקשר “וגם” ונקבל:

x^2+y^2\geq 1

וגם

x^2+y^2\leq 2

שני הפתרונות יחד נותנים את התחום:

1\leq x^2+y^2\leq 2

זה הפתרון של האפשרות הראשונה.

אפשרות שנייה – שני האיברים במכפלה שליליים:

x^2+y^2-1< 0

וגם

2-x^2-y^2< 0

נפתור את האי-שוויון הראשון:

x^2+y^2-1< 0

x^2+y^2< 1

קיבלנו תחום שכולל את כל הנקודות שבתוך מעגל יחידה ברדיוס 1, לא כולל את הנקודות על המעגל עצמו.

נפתור את האי-שוויון השני:

2-x^2-y^2< 0

x^2+y^2> 2

קיבלנו תחום שכולל את כל הנקודות שמחוץ למעגל יחידה ברדיוס 2, לא כולל את הנקודות על המעגל עצמו.

נחתוך את שני הפתרונות בקשר “וגם” ונקבל שאין פתרון. אין נקודות שנמצאות בתוך המעגל ברדיוס 1 וגם מחוץ למעגל ברדיוס גדול יותר, רדיוס 2.

כעת, נחתוך בקשר “או” את שני הפתרונות: הפתרון של האפשרות הראשונה והפתרון של האפשרות השנייה, כלומר

1\leq x^2+y^2\leq 2

או אין פתרון. יחד מקבלים את הפתרון

1\leq x^2+y^2\leq 2

וזו התשובה הסופית.

איך תחום ההגדרה נראה?

הפתרון הוא התחום בין שני מעגלים: מעגל שמרכזו בראשית והרדיוס שלו הוא 1 ומעגל שמרכזו בראשית והרדיוס שלו הוא 2. התחום כולל את המעגלים עצמם.

וכך נראה תחום ההגדרה:

תחום הגדרה בין שני מעגלים

טיפ: במציאת תחום הגדרה, אפשר לבדוק את התשובה שקיבלתם – פשוט הציבו נקודה מתחום ההגדרה שמצאתם ונקודה שאינה בתחום ההגדרה. הנקודה מתחום ההגדרה צריכה לתת ערך פונקציה מוגדר, ואילו הנקודה מחוץ לתחום ההגדרה צריכה לתת לכם משהו לא מוגדר כמו אפס במכנה, שלילי בתוך שורש, ועוד.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה