fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

תחום הגדרה במספר משתנים – פונקציה עם מנה בתוך שורש – תרגיל 3144

תרגיל 

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה:

z(x,y)=\sqrt{\frac{x^2+y^2-x}{2x-x^2-y^2}}

תשובה סופית


x\leq x^2+y^2<2x

פתרון

נמצא את תחום ההגדרה. יש בפונקציה שורש ומכנה, ולכן נדרוש שהביטוי בתוך השורש יהיה גדול או שווה לאפס והביטוי בתוך המכנה שונה מאפס, כלומר

\frac{x^2+y^2-x}{2x-x^2-y^2}\geq 0

וגם

2x-x^2-y^2\neq 0

נפתור את האי-שוויון הראשון. מנה חיובית או אפס אם גם המונה וגם המכנה חיוביים או גם המונה וגם המכנה שליליים.

אפשרות ראשונה – המונה והמכנה חיוביים:

x^2+y^2-x\geq 0

וגם

2x-x^2-y^2\geq 0

אבל נזכור שגם צריך שיתקיים:

2x-x^2-y^2\neq 0

ולכן נדרוש שהאי-שוויון השני יהיה

2x-x^2-y^2> 0

כלומר, באפשרות הראשונה אנו צריכים לפתור את מערכת האי-שוויונים הזו:

x^2+y^2-x\geq 0

2x-x^2-y^2> 0

נעביר אגפים ונקבל את האי-שוויונים:

x^2+y^2\geq x

2x> x^2+y^2

נחתוך את שני האי-שוויונים בקשר “וגם” ונקבל:

x\leq x^2+y^2< 2x

זה הפתרון של האפשרות הראשונה.

אפשרות שנייה – המונה והמכנה שליליים:

x^2+y^2-x\leq 0

וגם

2x-x^2-y^2\leq 0

שוב נזכור שגם צריך שיתקיים:

2x-x^2-y^2\neq 0

ולכן נדרוש שהאי-שוויון השני יהיה

2x-x^2-y^2< 0

כלומר, באפשרות השנייה אנו צריכים לפתור את מערכת האי-שוויונים הזו:

x^2+y^2-x\leq 0

2x-x^2-y^2< 0

נעביר אגפים ונקבל את האי-שוויונים:

x^2+y^2\leq x

2x< x^2+y^2

נחתוך את שני האי-שוויונים בקשר “וגם” ונקבל שאין פתרון. הביטוי הוא חיובי, ולכן לא יכול להיות קטן מ-x, אך גדול מפעמיים x.

כעת, נחתוך בקשר “או” את שני הפתרונות: הפתרון של האפשרות הראשונה והפתרון של האפשרות השנייה, כלומר

x\leq x^2+y^2< 2x

או אין פתרון. יחד מקבלים את הפתרון

x\leq x^2+y^2< 2x

וזו התשובה הסופית.

איך תחום ההגדרה נראה?

נבחן את האי-שוויון משמאל:

x\leq x^2+y^2

נעביר הכול לאגף אחד:

x^2-x+y^2\geq 0

נעשה למשתנה x השלמה לריבוע ונקבל:

{(x-\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{4}+y^2\geq 0

נעביר את הקבוע אגף ונקבל:

{(x-\frac{1}{2})}^2+y^2\geq \frac{1}{4}

קיבלנו משוואת מעגל שמרכזו בנקודה:

(\frac{1}{2},0)

והרדיוס שלו שווה 0.25.

לכן, התחום הוא כל הנקודות על המעגל ומחוצה לו (כי הסימן של האי-שוויון הוא גדול או שווה).

נבחן את האי-שוויון מימין:

x^2+y^2<2x

נעביר הכול לאגף אחד:

x^2-2x+y^2< 0

נעשה למשתנה x השלמה לריבוע ונקבל:

{(x-1)}^2-1+y^2< 0

נעביר את הקבוע אגף ונקבל:

{(x-1)}^2+y^2< 1

קיבלנו משוואת מעגל שמרכזו בנקודה:

(1,0)

והרדיוס שלו שווה ל-1.

לכן, התחום הוא כל הנקודות שבתוך המעגל (כי הסימן של האי-שוויון הוא קטן ובלי שוויון).

שני האי-שוויונים יחד נותנים את התחום בין שני המעגלים, כולל המעגל הראשון.

וכך נראה תחום ההגדרה:

תחום הגדרה בין שני מעגלים

תחום ההגדרה הוא התחום בין שני המעגלים, כולל המעגל הירוק, אך לא כולל את המעגל הכחול.

טיפ: במציאת תחום הגדרה, אפשר לבדוק את התשובה שקיבלתם – פשוט הציבו נקודה מתחום ההגדרה שמצאתם ונקודה שאינה בתחום ההגדרה. הנקודה מתחום ההגדרה צריכה לתת ערך פונקציה מוגדר, ואילו הנקודה מחוץ לתחום ההגדרה צריכה לתת לכם משהו לא מוגדר כמו אפס במכנה, שלילי בתוך שורש, ועוד.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה