fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

תחום הגדרה במספר משתנים – פונקציה עם שורש – תרגיל 3155

תרגיל 

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה:

z(x,y)=\sqrt{1-{(x^2+y)}^2}

תשובה סופית


-1-x^2\leq y\leq 1-x^2

פתרון

נמצא את תחום ההגדרה. יש בפונקציה שורש, ולכן נדרוש שהביטוי בתוך השורש יהיה גדול או שווה לאפס, כלומר

1-{(x^2+y)}^2\geq 0

נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר (נוסחה שלישית) ונקבל:

1-{(x^2+y)}^2=(1-(x^2+y))(1+(x^2+y))

נציב באי-שוויון ונקבל:

(1-(x^2+y))(1+(x^2+y))\geq 0

מכפלה חיובית או אפס אם גם המונה וגם המכנה חיוביים או גם המונה וגם המכנה שליליים.

אפשרות ראשונה – המונה והמכנה חיוביים:

1-(x^2+y)\geq 0

וגם

1+(x^2+y)\geq 0

נפתח סוגריים באי-שוויון הראשון ונקבל:

1-x^2-y\geq 0

נעביר אגפים ונקבל:

1-x^2\geq y

נעשב אותו דבר לאי-שוויון השני:

1+(x^2+y)\geq 0

נפתח סוגריים ונעביר אגפים:

1+x^2+y\geq 0

y\geq -1-x^2

נחתוך את שני הפתרונות שקיבלנו בקשר “וגם” ונקבל:

-1-x^2\leq y\leq 1+x^2

זה הפתרון של האפשרות הראשונה.

אפשרות שנייה – המונה והמכנה שליליים:

1-(x^2+y)\leq 0

וגם

1+(x^2+y)\leq 0

נפתח סוגריים באי-שוויון הראשון ונקבל:

1-x^2-y\leq 0

נעביר אגפים ונקבל:

1-x^2\leq y

נעשב אותו דבר לאי-שוויון השני:

1+(x^2+y)\leq 0

נפתח סוגריים ונעביר אגפים:

1+x^2+y\leq 0

y\leq -1-x^2

נחתוך את שני הפתרונות שקיבלנו בקשר “וגם” ונקבל שאין פתרון (נקרא גם קבוצה ריקה).

זה הפתרון של האפשרות השנייה.

כעת, נחתוך בקשר “או” את שני הפתרונות: הפתרון של האפשרות הראשונה והפתרון של האפשרות השנייה, כלומר

-1-x^2\leq y\leq 1+x^2

או אין פתרון. יחד מקבלים את הפתרון

-1-x^2\leq y\leq 1+x^2

וזו התשובה הסופית.

איך תחום ההגדרה נראה?

נבחן את האי-שוויון משמאל:

-1-x^2\leq y

זו משוואה של פרבולה הפוכה (“בוכה”) עם נקודת מקסימום בנקודה y=-1.

לכן, התחום הוא כל הנקודות שעל הפרבולה ומעליה (כי הסימן של האי-שוויון הוא גדול או שווה).

נבחן את האי-שוויון מימין:

y\leq 1+x^2

זו משוואה של פרבולה הפוכה (“בוכה”) עם נקודת מקסימום בנקודה y=1.

לכן, התחום הוא כל הנקודות שעל הפרבולה ומתחתיה (כי הסימן של האי-שוויון הוא קטן או שווה).

שני האי-שוויונים יחד נותנים את התחום בין שתי הפרבולות, כולל הנקודות על שתי הפרבולות.

וכך נראה תחום ההגדרה:

תחום הגדרה בין שתי פרבולות

תחום ההגדרה הוא התחום בין שתי הפרבולות, כולל הפרבולות עצמן.

טיפ: במציאת תחום הגדרה, אפשר לבדוק את התשובה שקיבלתם – פשוט הציבו נקודה מתחום ההגדרה שמצאתם ונקודה שאינה בתחום ההגדרה. הנקודה מתחום ההגדרה צריכה לתת ערך פונקציה מוגדר, ואילו הנקודה מחוץ לתחום ההגדרה צריכה לתת לכם משהו לא מוגדר כמו אפס במכנה, שלילי בתוך שורש, ועוד.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור. 
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה