fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל משטחי מסוג ראשון – חישוב אינטגרל על גליל – תרגיל 4048

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int_S z(x+y)ds

כאשר S הוא

S=\{z=\sqrt{4-x^2},0\leq y\leq 5 \}

תשובה סופית

\int\int_S z(x+y)ds=100

פתרון

ראשית, ננסה להבין איך התחום S נראה. נסדר את המשוואה:

z=\sqrt{4-x^2}

z^2=4-x^2

x^2+z^2=4

קיבלנו משוואת גליל לאורך ציר y. והגבילו אותנו לקטע:

0\leq y\leq 5

כלומר, התחום S הוא חלק סופי מגליל אינסופי.

נרצה לעשות את ההמרה של ds למשתנים קרטזיים dxdy:

ds=\sqrt{1+{(z'_x)}^2+{(z'_y)}^2}dxdy

לכן, נחשב את הנגזרות החלקיות של פונקציית המשטח:

z'_x=\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}

z'_y=0

נציב ונקבל:

ds=\sqrt{1+{(\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}})}^2+0^2}dxdy=

=\sqrt{1+\frac{x^2}{4-x^2}}dxdy=

=\sqrt{\frac{4-x^2+x^2}{4-x^2}}dxdy=

=\sqrt{\frac{4}{4-x^2}}dxdy=

=\frac{2}{\sqrt{4-x^2}}dxdy

כעת, נציב באינטגרל. אם z מופיע בפונקציה שבתוך האינטגרל, נבודד אותו במשוואת המשטח S ונציב את הביטוי שנקבל באגף השני. נקבל:

\int\int_S z(x+y)ds=

=\int\int_D \sqrt{4-x^2}(x+y)\frac{2}{\sqrt{4-x^2}}dxdy=

=\int\int_D 2(x+y) dxdy=

כאשר D הוא ההיטל של הגוף S על המישור XY. נמצא את גבולות האינטגרציה לפי D. הגבולות לפי y כבר נתונות בשאלה:

0\leq y\leq 5

נמצא את גבולות האינטגרציה של המשתנה x. במישור XY מתקיים z=0. נציב את זה במשוואת הגליל ונקבל את נקודות החיתוך של הגליל עם המישור XY.

0=\sqrt{4-x^2}

0=4-x^2

4=x^2

x=\pm 2

קיבלנו שהגליל חותך את המישור בשני ישרים אינסופיים:

x=2, x=-2

לכן גבולות האינטגרציה לפי x יהיו (2,2-).

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

=\int_{-2}^2 dx \int_0^5 2(x+y)dy=

כעת, אפשר לפתור את האינטגרל. קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה y.

=2\int_{-2}^2 [xy+\frac{y^2}{2}]\int_0^5 dx=

=2\int_{-2}^2 [5x+\frac{5^2}{2}-(x\cdot 0+\frac{0^2}{2})] dx=

=2\int_{-2}^2 [5x+\frac{25}{2}] dx=

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד x. נפתור אותו:

=2\cdot[5\frac{x^2}{2}+\frac{25}{2}x]_{-2}^2=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=2\cdot[5\frac{2^2}{2}+\frac{25}{2}\cdot 2-(5\frac{{(-2)}^2}{2}+\frac{25}{2}\cdot (-2))]=

=2\cdot[5\cdot 2+25-(5\cdot 2-25)]=

=2\cdot[10+25-10+25]=

= 2\cdot 50=

= 100

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה