fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל משטחי מסוג ראשון – חישוב שטח פנים של מישור – תרגיל 4074

תרגיל 

חשבו את שטח הפנים של המישור:

x+2y+3z=6

הכלוא בין המישורים:

x=0,y=0,z=0

תשובה סופית

\int\int_S ds=3\sqrt{14}

פתרון

שטח פנים של משטח מוצאים בעזרת חישוב אינטגרל משטחי מסוג ראשון לפי הנוסחה:

\int\int_S ds

נרצה לעשות את ההמרה של ds למשתנים קרטזיים dxdy לפי הנוסחה:

ds=\sqrt{1+{(z'_x)}^2+{(z'_y)}^2}dxdy

לכן, נבודד את z במשוואת המישור (חלק ממנו זה המשטח S) ונחשב את הנגזרות החלקיות שלו:

x+2y+3z=6

3z=6-x-2y

z=2-\frac{x}{3}-\frac{2y}{3}

והנגזרות הן

z'_x=-\frac{1}{3}

z'_y=-\frac{2}{3}

נציב באינטגרל ונקבל:

\int\int_S ds=

=\int\int_D\sqrt{1+{(-\frac{1}{3})}^2+{(-\frac{2}{3})}^2}dxdy=

=\int\int_D\sqrt{1+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}}dxdy=

=\int\int_D\sqrt{\frac{14}{9}}dxdy

כאשר D הוא ההיטל של הגוף S על המישור XY. נמצא את גבולות האינטגרציה לפי D. נציב במשוואת המישור z=0 ונקבל את החיתוך של המישור עם המישור XY:

x+2y+3\cdot 0=6

x+2y=6

כמו כן, נתון שהתחום מוגבל במישורים: y=0, x=0. במישור XY אלו ישרים. מכאן, התחום D נראה כך:

תחום משולש במישור

התחום המבוקש מסומן בפסים ירוקים.

נרצה לפתור את האינטגרל:

=\sqrt{\frac{14}{9}}\int dy \int dx

כדי למצוא את גבולות האינטגרציה, מתחילים מהאינטגרל הפנימי (הימני) ומעבירים ישר המקביל לציר של משתנה האינטגרציה. בתרגיל שלנו, האינטגרל הפנימי הוא לפי x, ולכן נעביר ישר המקביל לציר x. זה נראה כך:

תחום אינטגרציה למשולש

כעת, נבדוק לאיזה ערך x שווה כשנכנסים לתחום משמאל ולאיזה ערך x שווה כשיוצאים מהתחום מימין. אנו נכנסים לתחום בישר x=0, לכן גבול האינטגרציה התחתון הוא 0. ואנו יוצאים מהתחום בישר, לכן נבודד את x במשוואת הישר:

x+2y=6

x=6-2y

הביטוי שקיבלנו באגף השני יהיה גבול האינטגרציה התחתון. נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

=\sqrt{\frac{14}{9}}\int dy \int_0^{6-2y} dx

נעבור למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים (של האינטגרל השמאלי), לפי y. שימו לב שגבולות חיצוניים חייבים להיות קבועים, ללא המשתנים x או y. כדי למצוא את גבולות האינטגרציה החיצוניים, ניקח את הקטע הגדול ביותר בציר של משתנה האינטגרציה, החופף עם התחום D. בתרגיל שלנו, המשתנה הוא y, והקטע הגדול ביותר בציר y, שחופף עם התחום הוא הקטע:

(0,3)

נוסיף את גבולות האינטגרציה לאינטגרל שלנו ונקבל:

=\sqrt{\frac{14}{9}}\int_0^3 dy \int_0^{6-2y} dx=

הערה: אפשר להפוך את הסדר – קודם dy ואז dx – ואז גבולות האינטגרציה ישתנו בהתאם.

כעת, אפשר לפתור את האינטגרל. קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה x.

=\sqrt{\frac{14}{9}}\int_0^3 [x]_0^{6-2y} dy =

=\sqrt{\frac{14}{9}}\int_0^3 (6-2y-0) dy =

=\sqrt{\frac{14}{9}}\int_0^3 (6-2y) dy =

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד y. נפתור אותו:

=\sqrt{\frac{14}{9}}[6y-2\frac{y^2}{2}]_0^3 =

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\sqrt{\frac{14}{9}}[6\cdot 3-2\frac{3^2}{2}-(6\cdot 0-2\frac{0^2}{2})]=

=\sqrt{\frac{14}{9}}(18-\frac{18}{2}-0)=

=\sqrt{\frac{14}{9}}(18-9)=

=\sqrt{\frac{14}{9}}\cdot 9=

=3\sqrt{14}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה