fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל משטחי מסוג ראשון – חישוב אינטגרל על פרבולואיד – תרגיל 4055

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int_S 3zds

כאשר S הוא

S=\{z=2-x^2-y^2,z\geq 0 \}

תשובה סופית

\int\int_S 3zds=11.1\pi

פתרון

ראשית, ננסה להבין איך התחום S נראה. המשטח:

z=x^2+y^2

הוא פרבולואיד עם נקודת מינימום בראשית. שימו לב שפרבולואיד “חי” רק כאשר z חיובי וב-z=0 (המישור XY) יש לפרבולואיד רק נקודה אחת – הראשית. הכפלת אגף ימין במינוס הופכת את הפרבולואיד, והוספת 2 מרימה אותו בציר z שתי נקודות. כך מקבלים את המשטח הזה:

פרבולואיד הפוך

שימו לב שהפרבולואיד ההפוך שקיבלנו מתחיל מ- z=2 (שם יש לו נקודה אחת, נקודת מקסימום) והולך וגדל עד מינוס אינסוף. המשטח בשאלה מוגבל בטווח של z ל-z חיובי, כי נתון בשאלה:

z\geq 0

לכן S הוא משטח סופי ועוצר במישור XY. הוא בעצם בצורת קערה הפוכה, שגובהה 2.

נרצה לעשות את ההמרה של ds למשתנים קרטזיים dxdy לפי הנוסחה:

ds=\sqrt{1+{(z'_x)}^2+{(z'_y)}^2}dxdy

לכן, נחשב את הנגזרות החלקיות של פונקציית הפרבולואיד:

z'_x=-2x

z'_y=-2y

נציב ונקבל:

ds=\sqrt{1+{(-2x)}^2+{(-2y)}^2}dxdy=

=\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy

כעת, נציב באינטגרל. אם z מופיע בפונקציה שבתוך האינטגרל, נבודד אותו במשוואת המשטח S ונציב את הביטוי שנקבל באגף השני. נקבל:

\int\int_S 3zds=

=\int\int_D 3(2-x^2-y^2)\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy=

כאשר D הוא ההיטל של הגוף S על המישור XY. נמצא את גבולות האינטגרציה לפי D. נציב במשטח z=0 (זו משוואת המישור XY), כדי למצוא את החיתוך של הפרבולואיד עם המישור:

0=2-x^2-y^2

x^2+y^2=2

קיבלנו משוואת מעגל, לכן כדאי לעבור לקואורדינטות קוטביות (פולריות). לשם כך, נשתמש במשוואות:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

נציב את המשוואות באינטגרל במקום x ובמקום y. ומכיוון שאנו עוברים לקואורדינטות אחרות, נכפול גם ביעקוביאן.

כשמשתמשים במשוואות לעיל (של מעגל), היעקוביאן הוא

|J|=r

נקבל:

=\int\int_D 3(2-{(r\cos\theta)}^2-{(r\sin\theta)}^2)\sqrt{1+4{(r\cos\theta)}^2+4{(r\sin\theta)}^2}rd\theta dr=

=\int\int_D 3(2-r^2\cos^2\theta r^2\sin^2\theta)\sqrt{1+4r^2\cos^2\theta+4r^2\sin^2\theta}rd\theta dr=

=3\int\int_D (2-r^2)\sqrt{1+4r^2}rd\theta dr=

התחום D הוא ההיטל של הפרבולואיד על המישור, כלומר המעגל שמצאנו:

x^2+y^2=2

לכן גבולות האינטגרציה לפי r הם

0\leq r\leq\sqrt{2}

וגבולות האינטגרציה לפי תטה הם

0\leq\theta\leq 2\pi

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

=3\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}} (2-r^2)\sqrt{1+4r^2}rdr=

נסדר את האינטגרל, כדי להשתמש בשיטת ההצבה:

=3\cdot\frac{-1}{4}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}} (-4)\cdot(2-r^2)\sqrt{1+4r^2}rdr=

=\frac{-3}{4}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}} (-8+4r^2)\sqrt{1+4r^2}rdr=

=\frac{-3}{4}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}} ((-9+1)+4r^2)\sqrt{1+4r^2}rdr=

=\frac{-3}{4}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}} (-9\sqrt{1+4r^2}+(1+4r^2)\sqrt{1+4r^2})rdr=

=\frac{-3}{4}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\sqrt{2}} (-9\sqrt{1+4r^2}+{(1+4r^2)}^{\frac{3}{2}})rdr=

נשתמש בשיטת ההצבה – נגדיר משתנה חדש כך:

u=1+4r^2

ונקבל:

du=8rdr

\frac{1}{8}du=rdr

נציב את המשתנה החדש באינטגרל ונקבל:

=\frac{-3}{4}\cdot\frac{1}{8}\int_0^{2\pi}d\theta\int_1^9 (-9)u^{\frac{1}{2}} +u^{\frac{3}{2}}du=

שימו לב ששינינו את גבולות האינטגרציה לפי u.

כעת, אפשר לפתור את האינטגרל. קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה u.

=\frac{-3}{32}\int_0^{2\pi} [(-9)\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}]_1^9 d\theta=

=\frac{-3}{32}\int_0^{2\pi} [\frac{-18}{3}u^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}]_1^9 d\theta=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{-3}{32}\int_0^{2\pi} [-6\cdot 9^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}\cdot 9^{\frac{5}{2}}-(-6\cdot 1^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}\cdot 1^{\frac{5}{2}})] d\theta=

=\frac{-3}{32}\int_0^{2\pi} [-6\cdot 9^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{5}\cdot 9^{\frac{5}{2}}+6-\frac{2}{5}] d\theta=

=\frac{-3}{32}\int_0^{2\pi} [-6\cdot 27+\frac{2}{5}\cdot 243+5\frac{3}{5}] d\theta=

=\frac{-3}{32}\int_0^{2\pi} -59\frac{1}{5} d\theta=

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד – תטה. נפתור אותו:

=\frac{-3}{32}\cdot (-59)\frac{1}{5}[\theta]_0^{2\pi}=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום תטה:

=\frac{-3}{32}\cdot (-59)\frac{1}{5}[2\pi-0]=

=\frac{-3}{32}\cdot (-59)\frac{1}{5}\cdot 2\pi=

=\frac{-3}{32}\cdot\frac{-296}{5}\cdot 2\pi=

=\frac{888}{160}\cdot 2\pi=

= 11.1\pi

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה