fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל משטחי מסוג ראשון – חישוב מסה של חצי כדור – תרגיל 4082

תרגיל 

חשבו את המסה של חצי הכדור:

x^2+y^2+z^2=9,z\geq 0

בעל צפיפות משטחית בכל נקודה השווה למרחק מהנקודה עד למישור XY.

תשובה סופית

m=\int\int_S z ds=27\pi

פתרון

מסה של משטח מוצאים בעזרת חישוב אינטגרל משטחי מסוג ראשון לפי הנוסחה:

m=\int\int_S f(x,y,z) ds

כאשר הפונקציה בתוך האינטגרל היא פונקציית הצפיפות. ראשית, נבין מה הנוסחה של פונקציית הצפיפות – נתון שבכל נקודה בתחום הפונקציה שווה למרחק מהנקודה למישור וזה בדיוק ערך z של הנקודה. לכן, פונקציית הצפיפות היא

f(x,y,z)=z

כעת, נרצה לעשות את ההמרה של ds למשתנים קרטזיים dxdy לפי הנוסחה:

ds=\sqrt{1+{(z'_x)}^2+{(z'_y)}^2}dxdy

לכן, נבודד את z במשוואת הכדור ונחשב את הנגזרות החלקיות שלו:

x^2+y^2+z^2=9

z^2=9-x^2-y^2

מכיוון שנתון:

z\geq 0

נקבל:

z=\sqrt{9-x^2-y^2}

נחשב נגזרות חלקיות:

z'_x=\frac{-2x}{2\sqrt{9-x^2-y^2}}=\frac{-x}{\sqrt{9-x^2-y^2}}

z'_y=\frac{-2y}{2\sqrt{9-x^2-y^2}}=\frac{-y}{\sqrt{9-x^2-y^2}}

נציב באינטגרל. אם z מופיע בפונקציה שבתוך האינטגרל, נבודד אותו במשוואת הכדור ונציב את הביטוי שנקבל באגף השני. נקבל:

m=\int\int_S zds=

=\int\int_D\sqrt{9-x^2-y^2}\sqrt{1+{(\frac{-x}{\sqrt{9-x^2-y^2}})}^2+{(\frac{-y}{\sqrt{9-x^2-y^2}})}^2}dxdy=

=\int\int_D\sqrt{9-x^2-y^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{9-x^2-y^2}+\frac{y^2}{9-x^2-y^2}}dxdy=

=\int\int_D\sqrt{9-x^2-y^2}\sqrt{\frac{9-x^2-y^2+x^2+y^2}{9-x^2-y^2}}dxdy=

=\int\int_D\sqrt{9-x^2-y^2}\sqrt{\frac{9}{9-x^2-y^2}}dxdy=

=\int\int_D\sqrt{9-x^2-y^2}\frac{3}{\sqrt{9-x^2-y^2}}dxdy=

=\int\int_D 3 dxdy=

כאשר D הוא ההיטל של הגוף S על המישור XY. נציב z=0 (זו המשוואה של המישור XY) במשוואת הכדור, כדי למצוא את החיתוך ביניהם:

0=\sqrt{9-x^2-y^2}

0=9-x^2-y^2

x^2+y^2=9

קיבלנו משוואת מעגל. מכאן, ההיטל (D) הוא מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 3.

לכן כדאי לעבור לקואורדינטות קוטביות (פולריות). לשם כך, נשתמש במשוואות:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

נציב את המשוואות באינטגרל במקום x ובמקום y. ומכיוון שאנו עוברים לקואורדינטות אחרות, נכפול גם ביעקוביאן.

כשמשתמשים במשוואות לעיל (של מעגל), היעקוביאן הוא

|J|=r

נקבל:

=3\int\int_D rd\theta dr=

נמצא את גבולות האינטגרציה של D, כלומר של המעגל:

x^2+y^2=9

נציב את המשוואות לעיל במשוואת המעגל:

{(r\cos\theta)}^2+{(r\sin\theta)}^2=9

r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta=9

r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=9

r^2=9

r מציין מרחק מהראשית, ולכן תמיד חיובי. מכאן, מקבלים:

r=3

לכן, גבולות האינטגרציה לפי r הם

0\leq r\leq 3

התחום הוא מעגל שלם, ולכן גבולות האינטגרציה לפי תטה הם

0\leq\theta\leq 2\pi

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

=3\int_0^{2\pi} d\theta\int_0^3 rdr=

הגענו לאינטגרל מיידי. כעת, אפשר לפתור את האינטגרל. קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה u.

=3\int_0^{2\pi} [\frac{r^2}{2}]_0^3 d\theta=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=3\int_0^{2\pi} (\frac{3^2}{2}-\frac{0^2}{2}) d\theta=

=3\int_0^{2\pi} \frac{9}{2} d\theta=

=\frac{27}{2}\int_0^{2\pi}  d\theta=

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד – תטה. נפתור אותו:

=\frac{27}{2}[\theta]_0^{2\pi} =

=\frac{27}{2}(2\pi-0) =

=\frac{27}{2}\cdot 2\pi=

=27\pi

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה