fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל משטחי מסוג ראשון – חישוב שטח פנים של פרבולואיד – תרגיל 4078

תרגיל 

חשבו את שטח הפנים של הפרבולואיד:

z=2-x^2-y^2

המקיים:

z\geq 0

תשובה סופית

\int\int_S ds=\frac{13}{3}\pi

פתרון

שטח פנים של משטח מוצאים בעזרת חישוב אינטגרל משטחי מסוג ראשון לפי הנוסחה:

\int\int_S ds

נרצה לעשות את ההמרה של ds למשתנים קרטזיים dxdy לפי הנוסחה:

ds=\sqrt{1+{(z'_x)}^2+{(z'_y)}^2}dxdy

לכן, נבודד את z במשוואת הפרבולואיד (כאן הוא כבר מבודד) ונחשב את הנגזרות החלקיות שלו:

z=2-x^2-y^2

z'_x=-2x

z'_y=-2y

נציב באינטגרל ונקבל:

\int\int_S ds=

=\int\int_D\sqrt{1+{(-2x)}^2+{(-2y)}^2}dxdy=

=\int\int_D\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy=

כאשר D הוא ההיטל של הגוף S על המישור XY. נציב z=0 (זו המשוואה של המישור XY) במשוואת הפרבולואיד, כדי למצוא את החיתוך ביניהם:

0=2-x^2-y^2

x^2+y^2=2

קיבלנו משוואת מעגל. מכאן, ההיטל (D) הוא מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו שורש 2.

לכן כדאי לעבור לקואורדינטות קוטביות (פולריות). לשם כך, נשתמש במשוואות:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

נציב את המשוואות באינטגרל במקום x ובמקום y. ומכיוון שאנו עוברים לקואורדינטות אחרות, נכפול גם ביעקוביאן.

כשמשתמשים במשוואות לעיל (של מעגל), היעקוביאן הוא

|J|=r

נקבל:

=\int\int_D \sqrt{1+4{(r\cos\theta)}^2+4{(r\sin\theta)}^2}rd\theta dr=

=\int\int_D \sqrt{1+4r^2\cos^2\theta+4r^2\sin^2\theta}rd\theta dr=

=\int\int_D \sqrt{1+4r^2}rd\theta dr=

נמצא את גבולות האינטגרציה של D, כלומר של המעגל:

x^2+y^2=2

נציב את המשוואות לעיל במשוואת המעגל:

{(r\cos\theta)}^2+{(r\sin\theta)}^2=2

r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta=2

r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=2

r^2=2

r מציין מרחק מהראשית, ולכן תמיד חיובי. מכאן, מקבלים:

r=\sqrt{2}

לכן, גבולות האינטגרציה לפי r הם

0\leq r\leq\sqrt{2}

התחום הוא מעגל שלם, ולכן גבולות האינטגרציה לפי תטה הם

0\leq\theta\leq 2\pi

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

=\int_0^{2\pi} d\theta\int_0^{\sqrt{2}} \sqrt{1+4r^2}rdr=

נשתמש בשיטת ההצבה. נגדיר:

u=1+4r^2

ונקבל:

du=8rdr

\frac{1}{8}du=rdr

נציב את המשתנה החדש באינטגרל ונקבל:

=\frac{1}{8}\int_0^{2\pi} d\theta\int_1^9\sqrt{u}du=

=\frac{1}{8}\int_0^{2\pi} d\theta\int_1^9 u^{\frac{1}{2}}du=

שימו לב ששינינו את גבולות האינטגרציה לפי u.

הגענו לאינטגרל מיידי. כעת, אפשר לפתור את האינטגרל. קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה u.

=\frac{1}{8}\int_0^{2\pi} [\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]_1^9 d\theta =

=\frac{1}{8}\int_0^{2\pi} [\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}]_1^9 d\theta =

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{1}{8}\int_0^{2\pi} [\frac{2}{3}9^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}1^{\frac{3}{2}}]d\theta =

=\frac{1}{8}\int_0^{2\pi} [\frac{2}{3}\cdot 27-\frac{2}{3}]d\theta =

=\frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}\cdot 26\int_0^{2\pi} d\theta =

=\frac{52}{24}\int_0^{2\pi} d\theta =

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד – תטה. נפתור אותו:

=\frac{52}{24}[\theta]_0^{2\pi} =

=\frac{52}{24}(2\pi-0) =

=\frac{52}{24}\cdot 2\pi=

=\frac{104}{24}\pi=

=\frac{13}{3}\pi

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה