fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

אינטגרל משטחי מסוג ראשון – חישוב אינטגרל על חרוט – תרגיל 4068

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int_S (x^2+y^2+z^2) ds

כאשר S הוא חלק של החרוט:

z=\sqrt{x^2+y^2}

שמעל המעגל:

x^2+y^2\leq 2x

תשובה סופית

\int\int_S (x^2+y^2+z^2) ds=3\sqrt{2}\pi

פתרון

ראשית, ננסה להבין איך התחום S נראה. התחום מורכב מחרוט (z שווה לשורש, כלומר מדובר רק בחלק החיובי של החרוט) וממעגל (משוואת מעגל במישור XY היא בעצם גליל אינסופי במרחב XYZ). החרוט והגליל נראים כך:

חרוט וגליל

התחום S הוא רק החלק מהחרוט שנמצא בתוך הגליל. כעת, נפתור את האינטגרל.

נרצה לעשות את ההמרה של ds למשתנים קרטזיים dxdy לפי הנוסחה:

ds=\sqrt{1+{(z'_x)}^2+{(z'_y)}^2}dxdy

לכן, נחשב את הנגזרות החלקיות של פונקציית החרוט:

z'_x=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}

z'_y=\frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}

נציב ונקבל:

ds=\sqrt{1+{(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})}^2+{(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})}^2}dxdy=

=\sqrt{1+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}}dxdy=

=\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}}dxdy=

=\sqrt{1+1}dxdy=

=\sqrt{2}dxdy

כעת, נציב באינטגרל. אם z מופיע בפונקציה שבתוך האינטגרל, נבודד אותו במשוואת המשטח S ונציב את הביטוי שנקבל באגף השני. נקבל:

\int\int_S (x^2+y^2+z^2)ds=

\int\int_D (x^2+y^2+{(\sqrt{x^2+y^2})}^2)\sqrt{2}dxdy=

=\int\int_D (x^2+y^2+x^2+y^2)\sqrt{2}dxdy=

=\int\int_D 2(x^2+y^2)\sqrt{2}dxdy=

כאשר D הוא ההיטל של הגוף S על המישור XY. נמצא את גבולות האינטגרציה לפי D. מכיוון שההיטל של S על המישור הוא המעגל:

x^2+y^2\leq 2x

כדאי לעבור לקואורדינטות קוטביות (פולריות). לשם כך, נשתמש במשוואות:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

נציב את המשוואות באינטגרל במקום x ובמקום y. ומכיוון שאנו עוברים לקואורדינטות אחרות, נכפול גם ביעקוביאן.

כשמשתמשים במשוואות לעיל (של מעגל), היעקוביאן הוא

|J|=r

נקבל:

=\int\int_D 2({(r\cos\theta)}^2+{(r\sin\theta)}^2)\sqrt{2}rd\theta dr=

=2\sqrt{2}\int\int_D (r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta)rd\theta dr=

=2\sqrt{2}\int\int_D r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)rd\theta dr=

=2\sqrt{2}\int\int_D r^2rd\theta dr=

=2\sqrt{2}\int\int_D r^3d\theta dr=

נמצא את גבולות האינטגרציה של המעגל. נציב את המשוואות לעיל במשוואת המעגל ונקבל:

x^2+y^2\leq 2x

{(r\cos\theta)}^2+{(r\sin\theta)}^2\leq 2r\cos\theta

r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta\leq 2r\cos\theta

r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\leq 2r\cos\theta

r^2\leq 2r\cos\theta

r\leq 2\cos\theta

וגם r תמיד מקיים:

r\geq 0

לכן גבולות האינטגרציה ל- r הם

0\leq r\leq 2\cos\theta

מגבולות האינטגרציה ל- r נובע ש-cos חייב להיות חיובי, לכן גבולות האינטגרציה לתטה הם

-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq \frac{\pi}{2}

נציב את גבולות האינטגרציה שקיבלנו:

=2\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{2\cos\theta} r^3 dr=

כעת, אפשר לפתור את האינטגרל. קודם כל, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני) ונכניס את התוצאה בתוך האינטגרל החיצוני (השמאלי). שימו לב האינטגרל שאנו פותרים כעת (הימני) הוא לפי המשתנה r.

=2\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} [\frac{r^4}{4}]_0^{2\cos\theta} d\theta =

נציב את גבולות האינטגרציה:

=2\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{{(2\cos\theta)}^4}{4}-\frac{0^4}{4})d\theta =

=8\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta d\theta =

קיבלנו אינטגרל רגיל במשתנה אחד – תטה. כדי לפתור אותו, נשתמש בזהות הטריגונומטרית:

\cos^4 x=\frac{3+4\cos (2x)+\cos(4x)}{8}

נציב באינטגרל ונקבל:

=8\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{3+4\cos (2\theta)+\cos(4\theta)}{8} d\theta =

=8\sqrt{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{3}{8}+\frac{\cos (2\theta)}{2}+\frac{\cos(4\theta)}{8} d\theta =

הגענו לאינטגרל מיידי. נפתור אותו:

=8\sqrt{2}[\frac{3}{8}\theta+\frac{\sin (2\theta)}{2\cdot 2}+\frac{\sin(4\theta)}{8\cdot 4}]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =

נציב את גבולות האינטגרציה במקום תטה:

=8\sqrt{2}[\frac{3}{8}\cdot \frac{\pi}{2}+\frac{\sin (2\frac{\pi}{2})}{2\cdot 2}+\frac{\sin(4\frac{\pi}{2})}{8\cdot 4}-(\frac{3}{8}\cdot (-\frac{\pi}{2})+\frac{\sin (2\cdot -\frac{\pi}{2})}{2\cdot 2}+\frac{\sin(4\cdot -\frac{\pi}{2})}{8\cdot 4})]=

=8\sqrt{2}(\frac{3}{8}\cdot \frac{\pi}{2}+0+0+\frac{3}{8}\cdot\frac{\pi}{2}-0-0)=

=8\sqrt{2}\cdot 2\cdot \frac{3}{8}\cdot \frac{\pi}{2}

=3\sqrt{2}\pi

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה