fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת מכוונת – חישוב נגזרת – תרגיל 4279

תרגיל 

חשבו את הנגזרת המכוונת של הפונקציה:

z=x^2-xy+y^2

בנקודה (1,1) ובכיוון הווקטור:

\vec{a}=6\vec{i}+8\vec{j}

תשובה סופית


D_{\vec{a}} z(1,1)=1.4

פתרון

נחשב את הנגזרת המכוונת בעזרת הנוסחה:

D_{\vec{a}} z(x,y)=\hat{a}\cdot\nabla z(x,y)

כלומר, הנגזרת המכוונת שווה למכפלה הסקלרית של וקטור הכיוון (המנורמל!) והגרדיאנט בנקודה.

יש לנו וקטור כיוון, אך הוא אינו מנורמל. ננרמל אותו ונציב את התוצאה בנוסחה לעיל. לשם כך, נחשב את גודלו:

|\vec{a}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10

נחלק את הווקטור בגודלו, כדי לקבל את הווקטור המנורמל:

\hat{a}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{6}{10}\vec{i}+\frac{8}{10}\vec{j}=

=\frac{3}{5}\vec{i}+\frac{4}{5}\vec{j}

קיבלנו שווקטור הכיוון המנורמל הוא

\hat{a}=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})

נחשב את הנגזרת החלקיות בשביל הגרדיאנט:

z'_x(x,y)=2x-y

z'_y(x,y)=-x+2y

מכאן, וקטור הגרדיאנט הוא

\nabla z=(z'_x,z'_y)=

=(2x-y,-x+2y)

נציב בווקטור הגרדיאנט את הנקודה (1,1) ונקבל:

\nabla z(1,1)=(2\cdot 1-1,-1+2\cdot 1)=(1,1)

נציב בנוסחת הנגזרת המכוונת ונקבל:

D_{\vec{a}} z(1,1)=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})\cdot (1,1)=

=\frac{3}{5}\cdot 1+\frac{4}{5}\cdot 1=1.4

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה