fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת מכוונת – חישוב ערך מקסימלי וערך מינימלי – תרגיל 4302

תרגיל 

חשבו את הנגזרת המכוונת של הפונקציה:

z=x^2-xy+y^2

בנקודה (1,1) ובכיוון היוצר זווית אלפא עם ציר x חיובי. באיזה כיוון הנגזרת מקבלת ערך מקסימלי ובאיזה כיוון הנגזרת מקבלת ערך מינימלי?

תשובה סופית


(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})

(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})

פתרון

נגזרת מקבלת ערך מקסימלי בכיוון הגרדיאנט. לכן, נחשב את הנגזרת החלקיות בשביל הגרדיאנט:

z'_x(x,y)=2x-y

z'_y(x,y)=-x+2y

מכאן, וקטור הגרדיאנט הוא

\nabla z=(z'_x,z'_y)=

=(2x-y,-x+2y)

נציב בווקטור הגרדיאנט את הנקודה (1,1) ונקבל:

\nabla z(1,1)=(2\cdot 1-1,-1+2\cdot 1)=(1,1)

כעת, אנו צריכים למצוא מה הזווית מול ציר x של הוקטור הזה. נשתמש בנוסחת המכפלה הסקלרית:

\nabla z(1,1)\cdot \hat{i}=|\nabla z(1,1)|\cdot |\hat{i}|\cos \alpha

כאשר i הוא וקטור יחידה על ציר x. נציב את הנתונים בנוסחה ונקבל:

(1,1)\cdot (1,0)=\sqrt{1^2+1^2}\cdot 1\cos \alpha

1=\sqrt{2}\cos \alpha

\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \alpha

\alpha=45^{\circ}

קיבלנו שכאשר הגרדיאנט בזווית 45 מעלות עם ציר x, נקבל נגזרת מקסימלית.

במילים אחרות, הנגזרת המקסימלית מתקבלת בכיוון הוקטור:

\hat{a}=(\cos\ 45^{\circ},\cos45^{\circ})=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})

אלפא היא הזווית בין וקטור a לציר x וביתא היא הזווית בין וקטור a לציר y, לכן סכום הזוויות שווה ל-90.

הנגזרת מקבלת ערך מינימלי בכיוון הנגדי לערך המקסימלי, כלומר הנגזרת תקבל ערך מינימלי בכיוון הווקטור:

(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 
תרגיל 1 – נגזרת מכוונת – חישוב נגזרת

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה