fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת מכוונת – חישוב נגזרת בכיוון לפי זוויות – תרגיל 4299

תרגיל 

חשבו את הנגזרת המכוונת של הפונקציה:

u=xyz

בנקודה (1,1,1) ובכיוון הווקטור:

\vec{a}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)

מה גודל הגרדיאנט של הפונקציה בנקודה זו?

תשובה סופית

D_{\vec{a}} u(1,1,1)=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma

|\nabla u(1,1,1)|=\sqrt{3}

פתרון

נחשב את הנגזרת המכוונת בעזרת הנוסחה:

D_{\vec{a}} u(x,y,z)=\hat{a}\cdot\nabla u(x,y,z)

כלומר, הנגזרת המכוונת שווה למכפלה הסקלרית של וקטור הכיוון (המנורמל!) והגרדיאנט בנקודה.

וקטור הכיוון הנתון בשאלה כבר מנורמל.

הערה: כאשר רכיבי וקטור הם קוסינוסי הזוויות מול הצירים, הווקטור כבר מנורמל.

מכיוון שלא נתנו לנו את הזוויות, התשובה תהיה תלויה באלפא, ביתא וגמא.

נחשב את הנגזרת החלקיות בשביל הגרדיאנט:

u'_x(x,y,z)=yz

u'_y(x,y,z)=xz

u'_z(x,y,z)=xy

מכאן, וקטור הגרדיאנט הוא

\nabla u=(u'_x,u'_y,u'_z)=

=(yz,xz,xy)

נציב בווקטור הגרדיאנט את הנקודה (1,1,1) ונקבל:

\nabla u(1,1,1)=(1\cdot 1,1\cdot 1,1\cdot 1)=(1,1,1)

נציב בנוסחת הנגזרת המכוונת ונקבל:

D_{\vec{a}} z(1,1,1)=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\cdot (1,1,1)=

=\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma

נחשב את גודל הגרדיאנט בנקודה:

|\nabla u(1,1,1)|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה