fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת מכוונת – הוכחה שהנגזרת המכוונת שווה לערך מסוים – תרגיל 4292

תרגיל 

הוכיחו שהנגזרת המכוונת של הפונקציה:

u=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}

בנקודה (x,y,z) כלשהי ובכיוון מהנקודה לראשית שווה ל-

\frac{-2u}{r}

כאשר

r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

הוכחה

נחשב את הנגזרת המכוונת בעזרת הנוסחה:

D_{\vec{a}} u(x,y,z)=\hat{a}\cdot\nabla u(x,y,z)

כלומר, הנגזרת המכוונת שווה למכפלה הסקלרית של וקטור הכיוון (המנורמל!) והגרדיאנט בנקודה.

נחשב את וקטור הכיוון. נבנה וקטור מהנקודה לראשית:

\vec{a}=(0,0,0)-(x,y,z)=(-x,-y,-z)

נחשב את גודל הווקטור:

|\vec{a}|=\sqrt{{(-x)}^2+{(-y)}^2+{(-z)}^2}=

=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r

נחלק את הווקטור בגודלו, כדי לקבל את הווקטור המנורמל:

\hat{a}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=(\frac{-x}{r},\frac{-y}{r},\frac{-z}{r})

נחשב את הנגזרת החלקיות בשביל הגרדיאנט:

u'_x(x,y,z)=\frac{2x}{a^2}

u'_y(x,y,z)=\frac{2y}{b^2}

u'_z(x,y,z)=\frac{2z}{c^2}

מכאן, וקטור הגרדיאנט הוא

\nabla u=(u'_x,u'_y,u'_z)=

=(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2},\frac{2z}{c^2})

נציב בנוסחת הנגזרת המכוונת ונקבל:

D_{\vec{a}} u(x,y,z)=(\frac{-x}{r},\frac{-y}{r},\frac{-z}{r})\cdot (\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2},\frac{2z}{c^2})=

=\frac{-x}{r}\cdot \frac{2x}{a^2}+\frac{-y}{r}\cdot \frac{2y}{b^2}+\frac{-z}{r}\cdot \frac{2z}{c^2}=

=\frac{-2x^2}{ra^2}+\frac{-2y^2}{rb^2}+\frac{-2z^2}{rc^2}=

=\frac{-2}{r}\cdot u

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה