fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת מכוונת – חישוב נגזרת בכיוון לפי זווית – תרגיל 4290

תרגיל 

חשבו את הנגזרת המכוונת של הפונקציה:

z=x^2-y^2

בנקודה (1,1) ובכיוון היוצר זווית 60 מעלות עם הכיוון החיובי של ציר x.

תשובה סופית


D_{\vec{a}} z(1,1)=1-\sqrt{3}

פתרון

נחשב את הנגזרת המכוונת בעזרת הנוסחה:

D_{\vec{a}} z(x,y)=\hat{a}\cdot\nabla z(x,y)

כלומר, הנגזרת המכוונת שווה למכפלה הסקלרית של וקטור הכיוון (המנורמל!) והגרדיאנט בנקודה.

נמצא את וקטור הכיוון. נזכור שלכל וקטור מנורמל a כלשהו:

\hat{a}=\frac{a_1}{|\vec{a}|}\vec{i}+\frac{a_2}{|\vec{a}|}\vec{j}

מתקיים:

\cos\alpha=\frac{a_1}{|\vec{a}|}

\cos\beta=\frac{a_2}{|\vec{a}|}

או בקיצור:

\hat{a}=(\cos\alpha,\cos\beta)

כאשר אלפא היא הזווית של הוקטור המנורמל מול ציר x חיובי וביתא היא הזווית מול ציר y חיובי.

נתון לנו שהזווית מול ציר x היא 60 מעלות, לכן אלפא שווה 60. מכאן, ביתא שווה 30. כלומר, וקטור הכיוון (המנורמל) הוא

\hat{a}=(\cos 60^{\circ},\cos 30^{\circ})

נחשב את הזוויות ונקבל:

\hat{a}=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})

כעת, נחשב את הנגזרת החלקיות בשביל הגרדיאנט:

z'_x(x,y)=2x

z'_y(x,y)=-2y

מכאן, וקטור הגרדיאנט הוא

\nabla z=(z'_x,z'_y)=

=(2x,-2y)

נציב בווקטור הגרדיאנט את הנקודה (1,1) ונקבל:

\nabla z(1,1)=(2\cdot 1,-2\cdot 1)=(2,-2)

נציב בנוסחת הנגזרת המכוונת ונקבל:

D_{\vec{a}} z(1,1)=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (2,-2)=

=\frac{1}{2}\cdot 2+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (-2)=1-\sqrt{3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה