fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת מכוונת – חישוב נגזרת – תרגיל 4285

תרגיל 

חשבו את הנגזרת המכוונת של הפונקציה:

u=xy^2z^3

בנקודה (3,2,1) ובכיוון הווקטור:

\vec{a}=(2,2,1)

תשובה סופית


D_{\vec{a}} u(3,2,1)=22\frac{2}{3}

פתרון

נחשב את הנגזרת המכוונת בעזרת הנוסחה:

D_{\vec{a}} u(x,y,z)=\hat{a}\cdot\nabla u(x,y,z)

כלומר, הנגזרת המכוונת שווה למכפלה הסקלרית של וקטור הכיוון (המנורמל!) והגרדיאנט בנקודה.

יש לנו וקטור כיוון, אך הוא אינו מנורמל. ננרמל אותו ונציב את התוצאה בנוסחה לעיל. לשם כך, נחשב את גודלו:

|\vec{a}|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3

נחלק את הווקטור בגודלו, כדי לקבל את הווקטור המנורמל:

\hat{a}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})

נחשב את הנגזרת החלקיות בשביל הגרדיאנט:

u'_x(x,y,z)=y^2z^3

u'_y(x,y,z)=2xyz^3

u'_z(x,y,z)=3xy^2z^2

מכאן, וקטור הגרדיאנט הוא

\nabla u=(u'_x,u'_y,u'_z)=

=(y^2z^3,2xyz^3,3xy^2z^2)

נציב בווקטור הגרדיאנט את הנקודה (3,2,1) ונקבל:

\nabla u(3,2,1)=(2^2\cdot 1^3,2\cdot 3\cdot 2\cdot 1^3,3\cdot 3\cdot 2^2\cdot 1^2)=

=(4,12,36)

נציב בנוסחת הנגזרת המכוונת ונקבל:

D_{\vec{a}} u(3,2,1)=(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})\cdot (4,12,36)=

=\frac{2}{3}\cdot 4+\frac{2}{3}\cdot 12+\frac{1}{3}\cdot 36=22\frac{2}{3}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה