fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

נגזרת חלקית – חישוב נגזרת מסדר שני לפונקציה עם שורש – תרגיל 4320

תרגיל 

חשבו את הנגזרות החלקיות מסדר שני (נגזרת שנייה) של הפונקציה:

z(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}

תשובה סופית

z''_{xx} (x,y)=\frac{y^2}{{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}}

z''_{yy} (x,y)=\frac{x^2}{{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}}

z''_{xy} (x,y)=z''_{yx}(x,y)=\frac{-xy}{{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}}

פתרון

נחשב את הנגזרת החלקית לפי x. כשגוזרים לפי x, x הוא המשתנה ו-y נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

z'_x (x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}

נחשב את הנגזרת החלקית לפי y. כשגוזרים לפי y, y הוא המשתנה ו-x נחשב לפרמטר. כעת מקבלים גזירה של משתנה אחד, ולכן אפשר להשתמש בנוסחאות גזירה של משתנה אחד. כך מקבלים:

z'_y (x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}

כעת, נחשב את הנגזרות מסדר שני. נגזרת שנייה היא פשוט נגזרת על הנגזרת, כלומר גוזרים לפי חוקי נגזרת את פונקציית הנגזרת.

קיבלנו שהנגזרת לפי x היא

z'_x (x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}

נגזור אותה לפי x ונקבל:

z''_{xx} (x,y)=\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2x}{{(\sqrt{x^2+y^2})}^2}=

=\frac{\sqrt{x^2+y^2}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=

=\frac{x^2+y^2-x^2}{{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}}=

=\frac{y^2}{{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}}

נגזור אותה לפי y ונקבל:

z''_{xy} (x,y)=\frac{-x\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2y}{x^2+y^2}=

=\frac{-xy}{{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}}

קיבלנו שהנגזרת לפי y היא

z'_y (x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}

נגזור אותה לפי y ונקבל:

z''_{yy} (x,y)=\frac{\sqrt{x^2+y^2}-y\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2y}{{(\sqrt{x^2+y^2})}^2}=

=\frac{\sqrt{x^2+y^2}-\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=

=\frac{x^2+y^2-y^2}{{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}}=

=\frac{x^2}{{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}}

נגזור אותה לפי x ונקבל:

z''_{yx} (x,y)=\frac{-y\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2x}{x^2+y^2}=

=\frac{-xy}{{(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}}

שימו לב שקיבלנו:

z''_{yx} (x,y)=z''_{xy}(x,y)

זה לא במקרה. בפונקציות רציפות וגזירות, סדר הגזירה אינו משנה. כלומר, מקבלים את אותה התוצאה כאשר גוזרים קודם לפי y ואז לפי x או קודם לפי x ואז לפי y.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה