fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גיאומטריה אנליטית – חישוב משוואת ישר העובר בהיטל – תרגיל 4467

תרגיל 

נתונות 4 נקודות במרחב:

A(0,2,4),B(-2,6,-2),C(2,-4,8),D(10,2,0)

חשבו את משוואת הישר AK כאשר K היא ההיטל של הנקודה D על המישור ABC.

תשובה סופית

\frac{x}{0}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{2}

פתרון

אלה הפעולות שנעשה,  כדי לחשב את משוואת הישר AK:

1. נחשב את משוואת המישור ABC.

2. נחשב את משוואת הישר DK.

3. נמצא את נקודת החיתוך בין המישור ABC לבין הישר DK – זו הנקודה K.

4. בעזרת שתי הנקודות A ו-K נחשב את משוואת הישר AK.

שלב ראשון, נחשב את משוואת המישור ABC. לשם כך, אנו צריכים נקודה ווקטור אנכי למישור, כלומר נורמל. נקודה יש לנו – A,B או C. נותר למצוא נורמל למישור. משלוש הנקודות הנתונות על המישור ניצור שני וקטורים (גם הם על המישור):

\vec{AB}=(-2,6,-2)-(0,2,4)=(-2,4,-6)

\vec{AC}=(2,-4,8)-(0,2,4)=(2,-6,4)

מכיוון ששני הווקטורים שקיבלנו על המישור ABC, מכפלה וקטורית שלהם תניב וקטור מאונך להם, ולכן גם למישור. לכן, התוצאה היא הנורמל למישור.

\vec{AB}\times \vec{AC}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 4 & -6 \\ 2 & -6 & 4 \end{vmatrix}=

=-20\vec{i}-4\vec{j}+4\vec{k}

=4(-5\vec{i}-\vec{j}+\vec{k})

מכאן, הנורמל למישור הוא הווקטור:

\vec{N}=(-5,1,-1)

נציב את הנורמל ואת הנקודה A במשוואת מישור ונקבל:

-5(x-0)-(y-2)+(z-4)=0

-5x-y+2+z-4=0

-5x-y+z=2

שלב שני, נחשב את משוואת הישר DK. כדי לחשב משוואת ישר, אנו צריכים נקודה ווקטור כיוון. הנקודה D נתונה בשאלה. מכיוון שהישר DK מאונך למישור ABC, הנורמל של המישור ווקטור הכיוון של הישר מקבילים. לכן, הנורמל יהיה וקטור הכיוון של הישר, כלומר

\vec{p}=(-5,1,-1)

נציב את וקטור הכיוון ואת הנקודה D במשוואת הישר. נבחר את ההצגה הפרמטרית, כי אנו רוצים למצוא את נקודת החיתוך Q בין הישר למישור. משוואת הישר DK בהצגה פרמטרית היא

x=10-5t

y=2-t

z=t

שלב שלישי, נציב את הישר במשוואת המישור, כדי למצוא את  נקודת החיתוך ביניהם:

-5(10-5t)-(2-t)+t=2

-50+25t-2+t+t=2

27t=54

t=2

נציב את t במשוואת הישר:

x=10-5\cdot 2=0

y=2-2=0

z=2

קיבלנו שהנקודה K היא

K(0,0,2)

שלב אחרון, נחשב את משוואת הישר AK בעזרת שתי הנקודות A ו-K:

\frac{x-0}{0-0}=\frac{y-0}{2-0}=\frac{z-2}{4-2}

\frac{x}{0}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{2}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה