fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

גיאומטריה אנליטית – חישוב נקודה קרובה ביותר ומרחק – תרגיל 4463

תרגיל 

נתון המישור D:

x+3y+2z=25

חשבו את הנקודה Q במישור D הקרובה ביותר לנקודה:

P(1,0,-1)

וחשבו את המרחק ביניהן.

תשובה סופית

Q(8,3,1)

d=\sqrt{62}

פתרון

הנקודה הקרובה ביותר לנקודה P היא נקודת החיתוך בין האנך שיורד למישור מהנקודה P לבין המישור. לכן, נחשב את משוואת הישר PQ (יורד אנכית למישור) ו-Q היא נקודת החיתוך בין הישר PQ לבין המישור.

הנורמל של המישור:

\vec{N}=(1,3,2)

הוא וקטור הכיוון של הישר PQ, כלומר

\vec{p}=(1,3,2)

ונתונה לנו הנקודה P על הישר PQ:

P(1,0,-1)

נציב את הנקודה ואת וקטור הכיוון במשוואת הישר. נבחר בהצגה פרמטרית, כי אנו רוצים למצוא את נקודת החיתוך בין הישר לבין המישור. משוואת הישר בהצגה פרמטרית היא

x=1+t

y=3t

z=-1+2t

נציב את הישר במשוואת המישור, כדי למצוא את  נקודת החיתוך ביניהם:

7(1+t)+3\cdot 3t+2(-1+2t)=25

7+7t+9t+-2+4t=25

20t=20

t=1

נציב את t במשוואת הישר:

x=1+7\cdot 1=8

y=3\cdot 1=3

z=-1+2\cdot 1=1

קיבלנו שהנקודה הקרובה ביותר לנקודה P היא

Q(8,3,1)

כדי לחשב את המרחק ביניהן, נחשב את הווקטור PQ:

\vec{PQ}=(8,3,1)-(1,0,-1)=(7,3,2)

המרחק בין הנקודות הוא גודל (אורך) הווקטור:

|\vec{PQ}|=\sqrt{7^2+3^2+2^2}=\sqrt{62}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה