fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קואו' גליליות וכדוריות – חישוב אינטגרל משולש על כדור – תרגיל 4606

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int\int_T xyz dxdydz

כאשר T חסום על ידי המשטחים:

x=0, y=0, z=0, x^2+y^2+z^2=1, x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0

תשובה סופית


\int\int\int_T xyz dxdydz=\frac{1}{48}

פתרון

מכיוון שהתחום הוא חלק מכדור, נעבור לקואורדינטות כדוריות. לשם כך, נשתמש במשוואות:

x=\rho\cos\theta\sin\phi

y=\rho\sin\theta\sin\phi

z=\rho\cos\phi

כשמשתמשים במשוואות האלה, היעקוביאן הוא

|J|=\rho^2\sin\phi

כעת, כדי למצוא את גבולות האינטגרציה לפי המשתנים החדשים:

\rho, \theta, \phi

נציב את המשוואות לעיל במשוואות של התחום T (בשאלה) ונקבל:

x^2+y^2+z^2=1

{(\rho\cos\theta\sin\phi)}^2+{(\rho\sin\theta\sin\phi)}^2+{(\rho\cos\phi)}^2=1

\rho^2\cos^2\theta\sin^2\phi+\rho^2\sin^2\theta\sin^2\phi+\rho^2\cos^2\phi=1

\rho^2\sin^2\phi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\rho^2\cos^2\phi=1

\rho^2\sin^2\phi+\rho^2\cos^2\phi=1

\rho^2(\sin^2\phi+\cos^2\phi)=1

\rho^2=1

אבל רו תמיד חיובי, לכן מקבלים:

\rho=1

ומכיוון שרו חיובי, תמיד מתקיים:

\rho\geq 0

מכאן, הטווח של המשתנה רו הוא

0\leq \rho\leq 1

מהמשוואות:

x\geq 0, y\geq 0

נובע שהתחום T כולל רק רבע מהמישור XY, לכן הטווח של תטא הוא

0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}

ומהמשוואה:

z\geq 0

נובע שהתחום T כולל רק את ציר z חיובי, לכן הטווח של פי הוא

0\leq \phi \leq \frac{\pi}{2}

נבנה את האינטגרל החדש: נציג את הפונקציה בתוך האינטגרל בעזרת המשתנים החדשים, נציב את גבולות האינטגרציה של המשתנים האלה ונכפול ביעקוביאן המתאים. כך נקבל את האינטגרל:

\int\int\int_T xyz dxdydz=

=\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\phi \int_0^1 \rho\cos\theta\sin\phi\cdot \rho\sin\theta\sin\phi\cdot \rho\cos\phi\cdot \rho^2\sin\phi d\rho=

=\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\phi \int_0^1 \rho^5\cos\theta\sin\theta\cos\phi\sin^3\phi d\rho=

נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר) לפי רו ונקבל:

=\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} [\frac{\rho^6}{6}\cos\theta\sin\theta\cos\phi\sin^3\phi]_0^1 d\phi=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום רו:

=\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} [\frac{1^6}{6}\cos\theta\sin\theta\cos\phi\sin^3\phi-\frac{0^6}{6}\cos\theta\sin\theta\cos\phi\sin^3\phi] d\phi=

=\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{6}\cos\theta\sin\theta\cos\phi\sin^3\phi d\phi=

נסדר:

=\frac{1}{6}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta d\theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\phi\sin^3\phi d\phi=

שוב, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר), הפעם לפי פי. יש לנו מכפלה של שתי פונקציות מאותה משפחה (פונקציה טריגונומטריות) ואחת היא הנגזרת של השנייה – זה רמז להשתמש בשיטת ההצבה. לכן, נגדיר משתנה חדש:

t=\sin\phi

ונקבל:

dt=\cos\phi d\phi

נציב את המשתנה החדש באינטגרל (לא נשכח לשנות את גבולות האינטגרציה לפי המשתנה החדש t) ונקבל:

=\frac{1}{6}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta d\theta \int_0^1 t^3 dt=

נפתור את האינטגרל לפי t:

=\frac{1}{6}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta [\frac{t^4}{4}]_0^1 d\theta=

=\frac{1}{6}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta [\frac{1^4}{4}-\frac{0^4}{4}] d\theta=

=\frac{1}{6}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta\cdot\frac{1}{4} d\theta=

=\frac{1}{24}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta d\theta=

הגענו לאינטגרל מסוים במשתנה אחד – תטא. נשתמש בזהות טריגונומטרית ונקבל:

=\frac{1}{24}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\sin(2\theta) d\theta=

=\frac{1}{48}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(2\theta) d\theta=

נפתור את האינטגרל:

=\frac{1}{48}[\frac{-\cos(2\theta)}{2}]_0^{\frac{\pi}{2}}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{1}{48}[\frac{-\cos(2\cdot\frac{\pi}{2})}{2}-\frac{-\cos(2\cdot 0)}{2}]=

=\frac{1}{48}[\frac{1}{2}-\frac{-1}{2}]=

=\frac{1}{48}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

לפוסט הזה יש 2 תגובות

  1. רו תמיד תהיה חיובית בגלל שרו זה בעצם האורך עד המעטפת?
    לא הבנתי למה הטווח של הזווית שביחס לציר הX היא עד חצי פאי?

    1. שלום אחמד,
      נכון, רו תמיד חיובית, כי היא מסמלת את המרחק מראשית הצירים למעטפת, כפי שציינת.
      לגבי הזווית, הזווית תטא מציינת את הזווית מול ציר X חיובי. התחום הוא שמינית מכדור שמרכזו בראשית, ולכן נמצא רק ברבע הראשון של המישור XY. בנקודות בתחום שנמצאות על ציר x חיובי – תטא היא אפס, ואילו בנקודות בתחום שנמצאות על ציר Y חיובי – תטא שווה לחצי פאי (90 מעלות). כל שאר הנקודות בתחום נמצאות ביניהן, ואין נקודות רחוקות יותר. לכן, תטא היא חצי פאי.
      מקווה שהתשובה ברורה ובהצלחה.

כתיבת תגובה