fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קואו’ גליליות וכדוריות – חישוב אינטגרל משולש על אליפסה – תרגיל 4620

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int\int_T (\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}) dxdydz

כאשר T חסום על ידי המשטח:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1

תשובה סופית


\int\int\int_T (\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}) dxdydz=\frac{4}{5}abc\pi

פתרון

מכיוון שהתחום הוא אליפסואיד, נעבור לקואורדינטות כדוריות. לשם כך, נשתמש במשוואות:

x=a\rho\cos\theta\sin\phi

y=b\rho\sin\theta\sin\phi

z=c\rho\cos\phi

כשמשתמשים במשוואות האלה, היעקוביאן הוא

|J|=abc\rho^2\sin\phi

כעת, כדי למצוא את גבולות האינטגרציה לפי המשתנים החדשים:

\rho, \theta, \phi

נציב את המשוואות לעיל במשוואות של התחום T (בשאלה) ונקבל:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1

\frac{{(a\rho\cos\theta\sin\phi)}^2}{a^2}+\frac{{(b\rho\sin\theta\sin\phi)}^2}{b^2}+\frac{{(c\rho\cos\phi)}^2}{c^2}=1

\frac{a^2\rho^2\cos^2\theta\sin^2\phi}{a^2}+\frac{b^2\rho^2\sin^2\theta\sin^2\phi}{b^2}+\frac{c^2\rho^2\cos^2\phi}{c^2}=1

\rho^2\cos^2\theta\sin^2\phi+\rho^2\sin^2\theta\sin^2\phi+\rho^2\cos^2\phi=1

\rho^2\sin^2\phi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\rho^2\cos^2\phi=1

\rho^2\sin^2\phi+\rho^2\cos^2\phi=1

\rho^2(\sin^2\phi+\cos^2\phi)=1

\rho^2=1

אבל רו תמיד חיובי, לכן מקבלים:

\rho=1

ומכיוון שרו חיובי, תמיד מתקיים:

\rho\geq 0

מכאן, הטווח של המשתנה רו הוא

0\leq \rho\leq 1

מכיוון שאין עוד משוואות בתחום T, ואנו גם מבינים שהתחום T הוא אליפסואיד שלם – הטווחים של הזוויות תטא ופי הם הטווחים המקסימליים, כלומר

0\leq \theta\leq 2\pi

0\leq \phi\leq \pi

נבנה את האינטגרל החדש: נציג את הפונקציה בתוך האינטגרל בעזרת המשתנים החדשים, נציב את גבולות האינטגרציה של המשתנים האלה ונכפול ביעקוביאן המתאים. כך נקבל את האינטגרל:

\int\int\int_T (\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}) dxdydz=

=\int_0^1 d\rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi} abc\rho^2\rho^2\sin\phi d\phi=

=abc\int_0^1 d\rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi}\rho^4\sin\phi d\phi=

נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר) לפי פי ונקבל:

=abc\int_0^1 d\rho \int_0^{2\pi}\rho^4[-\cos\phi]_0^{\pi} d\theta =

נציב את גבולות האינטגרציה במקום פי:

=abc\int_0^1 d\rho \int_0^{2\pi}\rho^4[-\cos\pi-(-\cos 0)] d\theta =

=abc\int_0^1 d\rho \int_0^{2\pi}\rho^4[1+1] d\theta =

=2abc\int_0^1 d\rho \int_0^{2\pi}\rho^4 d\theta =

שוב, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר), הפעם לפי תטא:

=2abc\int_0^1 \rho^4[\theta]_0^{2\pi} d\rho=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום תטא:

=2abc\int_0^1 \rho^4[2\pi-0] d\rho=

=4abc\pi \int_0^1 \rho^4 d\rho=

הגענו לאינטגרל מסוים במשתנה אחד – רו. נפתור את האינטגרל:

=4abc\pi [\frac{\rho^5}{5}]_0^1 =

נציב את גבולות האינטגרציה:

=4abc\pi [\frac{1^5}{5}-\frac{0^5}{5}]=

=4abc\pi\cdot\frac{1}{5}=

=\frac{4}{5}abc\pi

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה