fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קואו' גליליות וכדוריות – חישוב אינטגרל משולש על תחום בין כדור לחרוט – תרגיל 4619

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int_0^1 dx\int_0^{\sqrt{1-x^2}} dy\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{2-x^2-y^2} z^2 dz

תשובה סופית


\int_0^1 dx\int_0^{\sqrt{1-x^2}} dy\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{2-x^2-y^2} z^2 dz=\frac{\pi(2\sqrt{2}-1)}{15}

פתרון

ראשית, ננסה להבין איך התחום נראה. מגבולות האינטגרציה אנחנו מקבלים:

0\leq x\leq 1

0\leq y\leq \sqrt{1-x^2}

\sqrt{x^2+y^2} \leq z\leq \sqrt{2-x^2-y^2}

האי-שוויון הראשון פשוט. נסדר את האי-שוויון השני:

y\leq \sqrt{1-x^2}

y^2\leq 1-x^2

x^2+y^2\leq 1

קיבלנו מעגל, שמרכזו בראשית ורדיוסו 1. מכיוון שגם x וגם y חיוביים, מקבלים רק רבע מהמעגל, ולכן הטווח של הזווית תטא הוא

0\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}

נסדר את האי-שוויון השלישי. מצד אחד,

\sqrt{x^2+y^2} \leq z

x^2+y^2 \leq z^2

קיבלנו חרוט, שמרכזו בראשית. ומצד שני,

z\leq \sqrt{2-x^2-y^2}

z^2\leq 2-x^2-y^2

x^2+y^2+z^2\leq 2

קיבלנו כדור שמרכזו בראשית ורדיוסו שורש 2.

מכאן, התחום T הוא התחום בין בחרוט לבין הכדור שמעל הרבע הראשון של המעגל.

נמצא את נקודות החיתוך בין החרוט לכדור. נשווה את המשוואות:

x^2+y^2= z^2

x^2+y^2+z^2= 2

ונקבל:

2-z^2= z^2

2= 2z^2

1= z^2

z=\pm 1

אבל z חיובי (בין שני שורשים), ומקבלים:

z=1

מכיוון שהתחום בין חרוט לכדור, נעבור לקואורדינטות כדוריות. לשם כך, נשתמש במשוואות:

x=\rho\cos\theta\sin\phi

y=\rho\sin\theta\sin\phi

z=\rho\cos\phi

כשמשתמשים במשוואות האלה, היעקוביאן הוא

|J|=\rho^2\sin\phi

כעת, נמצא את גבולות האינטגרציה לפי המשתנים החדשים:

\rho, \theta, \phi

הרדיוס של הכדור הוא שורש 2 ורו תמיד חיובי, לכן נקבל שהטווח של המשתנה רו הוא

0\leq\rho\leq\sqrt{2}

הערה: הצבת המשוואות לעיל במשוואת הכדור תיתן את התוצאה הזו גם כן.

נציב את המשוואה לעיל בנקודת החיתוך שמצאנו:

1=\rho\cos\phi

הרדיוס של המעגל הוא כאמור שורש 2. נציב ונקבל:

1=\sqrt{2}\cos\phi

\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos\phi

\phi=\frac{\pi}{4}

מכאן, הטווח של המשתנה פי הוא

0\leq \phi\leq \frac{\pi}{4}

נבנה את האינטגרל החדש: נציג את הפונקציה בתוך האינטגרל בעזרת המשתנים החדשים, נציב את גבולות האינטגרציה של המשתנים האלה ונכפול ביעקוביאן המתאים. כך נקבל את האינטגרל:

\int_0^1 dx\int_0^{\sqrt{1-x^2}} dy\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{2-x^2-y^2} z^2 dz=

=\int_0^{\frac{\pi}{4}} d\phi \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta\int_0^{\sqrt{2}} {(\rho\cos\phi)}^2\rho^2\sin\phi d\rho=

=\int_0^{\frac{\pi}{4}} d\phi \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta\int_0^{\sqrt{2}} \rho^4\cos\phi\sin\phi d\rho=

נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר) לפי רו:

=\int_0^{\frac{\pi}{4}} d\phi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\phi\sin\phi[\frac{\rho^5}{5}]_0^{\sqrt{2}} d\theta=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום רו:

=\int_0^{\frac{\pi}{4}} d\phi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\phi\sin\phi[\frac{{\sqrt{2}}^5}{5}-\frac{0^5}{5}] d\theta=

=\int_0^{\frac{\pi}{4}} d\phi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\phi\sin\phi\frac{{\sqrt{2}}^5}{5} d\theta=

=\frac{4}{5}\sqrt{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}} d\phi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\phi\sin\phi d\theta=

שוב, נפתור את האינטגרל הפנימי – לפי תטא:

=\frac{4}{5}\sqrt{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos\phi\sin\phi[\theta]_0^{\frac{\pi}{2}}d\phi=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{4}{5}\sqrt{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos\phi\sin\phi[\frac{\pi}{2}-0]d\phi=

=\frac{4}{5}\sqrt{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos\phi\sin\phi\frac{\pi}{2}d\phi=

=\frac{4}{5}\sqrt{2}\cdot \frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos\phi\sin\phi d\phi=

הגענו לאינטגרל מסוים במשתנה אחד – פי. יש כאן מכפלה של שתי פונקציות מאותה משפחה – פונקציות טריגונומטריות – ואחת היא הנגזרת של השנייה. זה רמז להשתמש בשיטת ההצבה. לשם כך, נגדיר משתנה חדש:

t=\cos\phi

ונקבל:

dt=-\sin\phi d\phi

נציב את המשתנה החדש באינטגרל (לא נשכח לשנות את גבולות האינטגרציה לפי המשתנה החדש t) ונקבל:

=-\frac{4}{5}\sqrt{2}\cdot \frac{\pi}{2}\int_1^{\frac{\sqrt{2}}{2}} t^2dt=

עכשיו, אפשר לפתור את האינטגרל:

=-\frac{4}{5}\sqrt{2}\cdot \frac{\pi}{2}[\frac{t^3}{3}]_1^{\frac{\sqrt{2}}{2}}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=-\frac{4}{5}\sqrt{2}\cdot \frac{\pi}{2}[\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^3}{3}-\frac{1^3}{3}]=

=-\frac{4}{5}\sqrt{2}\cdot \frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{3}({(\frac{sqrt{2}}{2})}^3-1)=

=-\frac{4}{5}\sqrt{2}\cdot \frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{3}(\frac{sqrt{2}}{4}-1)=

=-\frac{1}{15}\pi+\frac{2\sqrt{2}}{15}\pi=

=\frac{\pi(2\sqrt{2}-1)}{15}=

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה