fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קואו’ גליליות וכדוריות – חישוב אינטגרל משולש על כדור – תרגיל 4613

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int\int_T x^2 dxdydz

כאשר T חסום על ידי המשטחים:

x^2+y^2+z^2=9

תשובה סופית


\int\int\int_T x^2 dxdydz=\frac{324}{5}\pi

פתרון

מכיוון שהתחום הוא כדור (שלם!), נעבור לקואורדינטות כדוריות. לשם כך, נשתמש במשוואות:

x=\rho\cos\theta\sin\phi

y=\rho\sin\theta\sin\phi

z=\rho\cos\phi

כשמשתמשים במשוואות האלה, היעקוביאן הוא

|J|=\rho^2\sin\phi

כעת, כדי למצוא את גבולות האינטגרציה לפי המשתנים החדשים:

\rho, \theta, \phi

נציב את המשוואות לעיל במשוואות של התחום T (בשאלה) ונקבל:

x^2+y^2+z^2=9

{(\rho\cos\theta\sin\phi)}^2+{(\rho\sin\theta\sin\phi)}^2+{(\rho\cos\phi)}^2=9

\rho^2\cos^2\theta\sin^2\phi+\rho^2\sin^2\theta\sin^2\phi+\rho^2\cos^2\phi=9

\rho^2\sin^2\phi(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\rho^2\cos^2\phi=9

\rho^2\sin^2\phi+\rho^2\cos^2\phi=9

\rho^2(\sin^2\phi+\cos^2\phi)=9

\rho^2=9

אבל רו תמיד חיובי, לכן מקבלים:

\rho=3

ומכיוון שרו חיובי, תמיד מתקיים:

\rho\geq 0

מכאן, הטווח של המשתנה רו הוא

0\leq \rho\leq 3

מכיוון שאין עוד משוואות בתחום T ואנו גם מבינים שהתחום T הוא כדור שלם, נסיק שהטווחים של הזוויות תטא ופי הם מקסימליים, כלומר:

0\leq \theta\leq 2\pi

0\leq \phi\leq \pi

נבנה את האינטגרל החדש: נציג את הפונקציה בתוך האינטגרל בעזרת המשתנים החדשים, נציב את גבולות האינטגרציה של המשתנים האלה ונכפול ביעקוביאן המתאים. כך נקבל את האינטגרל:

\int\int\int_T x^2 dxdydz=

=\int_0^3 d\rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi} {(\rho\cos\theta\sin\phi)}^2\cdot \rho^2\sin\phi d\phi=

=\int_0^3 d\rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi} \rho^2\cos^2\theta\sin^2\phi d\phi=

=\int_0^3 d\rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi} \rho^4\cos^2\theta\sin^3\phi d\phi=

נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר) לפי פי. נפצל את הפונקציה באינטגרל ונשתמש בזהות טריגונומטרית, כדי שנוכל לפתור את האינטגרל:

=\int_0^3 d\rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi} \rho^4\cos^2\theta\sin^2\phi\cdot\sin\phi d\phi=

=\int_0^3 d\rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi} \rho^4\cos^2\theta(1-\cos^2\phi)\cdot\sin\phi d\phi=

הגענו למכפלה של שתי פונקציות מאותה משפחה – פונקציות טריגונומטריות – ופונקציה אחת היא הנגזרת של השנייה. זה רמז להשתמש בשיטת ההצבה. לשם כך, נגדיר משתנה חדש:

t=\cos\phi

ונקבל:

dt=-\sin\phi d\phi

נציב את המשתנה החדש באינטגרל (לא נשכח לשנות את גבולות האינטגרציה לפי המשתנה החדש t) ונקבל:

=\int_0^3 d\rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_1^{-1} \rho^4\cos^2\theta(1-t^2)\cdot (-1)dt=

נפתור את האינטגרל הפנימי לפי t:

=\int_0^3 d\rho \int_0^{2\pi} -\rho^4\cos^2\theta[t-\frac{t^3}{3}]_1^{-1} d\theta=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום t:

=\int_0^3 d\rho \int_0^{2\pi} -\rho^4\cos^2\theta[-1-\frac{{(-1)}^3}{3}-(1-\frac{1^3}{3})] d\theta=

=\int_0^3 d\rho \int_0^{2\pi} -\rho^4\cos^2\theta[-1+\frac{1}{3}-1+\frac{1}{3}] d\theta=

=\int_0^3 d\rho \int_0^{2\pi} \frac{4}{3}\rho^4\cos^2\theta d\theta=

שוב, נפתור את האינטגרל הפנימי – לפי תטא. נשתמש בזהות טריגונומטרית ונקבל:

=\int_0^3 d\rho \int_0^{2\pi} \frac{4}{3}\rho^4\frac{1}{2}(1+\cos (2\theta)) d\theta=

=\frac{4}{6}\int_0^3 d\rho \int_0^{2\pi} \rho^4(1+\cos (2\theta)) d\theta=

כעת, אפשר לפתור את האינטגרל:

=\frac{4}{6}\int_0^3 \rho^4[\theta+\frac{\sin (2\theta)}{2}]_0^{2\pi} d\rho=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{4}{6}\int_0^3 \rho^4[2\pi+\frac{\sin (2\cdot 2\pi)}{2}-(0+\frac{\sin (2\cdot 0)}{2})] d\rho=

=\frac{4}{6}\int_0^3 \rho^4[2\pi+0-0-0] d\rho=

=\frac{4}{6}\int_0^3 2\pi\cdot \rho^4 d\rho=

הגענו לאינטגרל מסוים במשתנה אחד – רו. נפתור אותו:

=\frac{4}{6}\cdot 2\pi\cdot [\frac{\rho^5}{5}]_0^3=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\frac{4}{6}\cdot 2\pi\cdot [\frac{3^5}{5}-\frac{0^5}{5}]=

=\frac{4}{6}\cdot 2\pi\cdot\frac{3^5}{5}=

=\frac{324}{5}\pi

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה