fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קואו' גליליות וכדוריות – חישוב אינטגרל משולש על חרוט – תרגיל 4611

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int\int_T \sqrt{x^2+y^2} dxdydz

כאשר T חסום על ידי המשטחים:

z=1, x^2+y^2=z^2

תשובה סופית


\int\int\int_T \sqrt{x^2+y^2} dxdydz=\frac{\pi}{6}

פתרון

מכיוון שהתחום הוא חלק מחרוט, נעבור לקואורדינטות גליליות. לשם כך, נשתמש במשוואות:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

z=z

הערה: z הוא אותו z מהקואורדינטות הקרטזיות.

כשמשתמשים במשוואות האלה, היעקוביאן הוא

|J|=r

כעת, כדי למצוא את גבולות האינטגרציה לפי המשתנים החדשים:

r, \theta, z

נציב את המשוואות לעיל במשוואות של התחום T (בשאלה) ונקבל:

x^2+y^2=z^2

{(r\cos\theta)}^2+{(r\sin\theta)}^2=z^2

r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta=z^2

r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=z^2

r^2=z^2

אבל r תמיד חיובי ומקבלים:

z=r

ומהנתון:

z=1

מקבלים:

r=1

מכאן, הטווח של המשתנה r הוא

0\leq r\leq 1

החיתוך בין המשוואות של התחום T הוא המעגל:

x^2+y^2=1

מכיוון שאין עוד משוואות בתחום T וגם אנו רואים שהתחום כולל מעגל שלם – נסיק מכך שהטווח של תטא הוא מקסימלי:

0\leq \theta\leq 2\pi

נמצא את הטווח של z: נעביר ישר מקביל ל-z ונראה מה הערך של z כשנכנסים לתחום מלמטה ומה הערך של z כשיוצאים מהתחום למעלה. נכנסים לתחום בחרוט, ולכן z=r, כפי שראינו לעיל, ויוצאים מהתחום במישור z=1. מכאן, הטווח של z הוא

r\leq z\leq 1

נבנה את האינטגרל החדש: נציג את הפונקציה בתוך האינטגרל בעזרת המשתנים החדשים, נציב את גבולות האינטגרציה של המשתנים האלה ונכפול ביעקוביאן המתאים. כך נקבל את האינטגרל:

\int\int\int_T \sqrt{x^2+y^2} dxdydz=

=\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 dr\int_r^1 \sqrt{r^2}\cdot r dz=

=\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 dr\int_r^1 r^2 dz=

נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר) לפי z ונקבל:

=\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 [r^2z]_r^1 dr=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום z:

=\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 [r^2\cdot 1-r^2\cdot r] dr=

=\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (r^2-r^3) dr=

שוב, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר), הפעם לפי r:

=\int_0^{2\pi} [\frac{r^3}{3}-\frac{r^4}{4}]_0^1 d\theta=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\int_0^{2\pi} [\frac{1^3}{3}-\frac{1^4}{4}-(\frac{0^3}{3}-\frac{0^4}{4})] d\theta=

=\int_0^{2\pi} [\frac{1}{3}-\frac{1}{4}] d\theta=

=\int_0^{2\pi} \frac{1}{12} d\theta=

הגענו לאינטגרל מסוים במשתנה אחד – תטא. נפתור אותו:

=[\frac{1}{12}\theta]_0^{2\pi}=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=[\frac{1}{12}\cdot 2\pi-\frac{1}{12}\cdot 0]=

=\frac{1}{12}\cdot 2\pi=

=\frac{\pi}{6}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה