fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

קואו’ גליליות וכדוריות – חישוב אינטגרל משולש על חרוט – תרגיל 4617

תרגיל 

חשבו את האינטגרל:

\int\int\int_T z\sqrt{x^2+y^2} dxdydz

כאשר T חסום על ידי המשטחים:

x^2+y^2\leq 2x, y\geq 0, z\geq 0, z\leq 3

תשובה סופית


\int\int\int_T z\sqrt{x^2+y^2} dxdydz=8

פתרון

מכיוון שהתחום הוא חלק מגליל, נעבור לקואורדינטות גליליות. לשם כך, נשתמש במשוואות:

x=r\cos\theta

y=r\sin\theta

z=z

כשמשתמשים במשוואות האלה, היעקוביאן הוא

|J|=r

כעת, כדי למצוא את גבולות האינטגרציה לפי המשתנים החדשים:

r, \theta, z

הערה: z הוא אותו z מהקואורדינטות הקרטזיות.

נציב את המשוואות לעיל במשוואות של התחום T (בשאלה) ונקבל:

x^2+y^2\leq 2x

{(r\cos\theta)}^2+{(r\sin\theta)}^2\leq 2r\cos\theta

r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta\leq 2r\cos\theta

r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\leq 2r\cos\theta

r^2\leq 2r\cos\theta

r\leq 2\cos\theta

ותמיד מתקיים:

r\geq 0

יחד מקבלים את הטווח של המשתנה r:

0\leq r\leq 2\cos\theta

מאי-שוויון זה מקבלים שחייב להתקיים:

\cos\theta\geq 0

כמו כן, נתון:

y\geq 0

נציב את המשתנים החדשים:

r\sin\theta \geq 0

ונקבל:

\sin\theta \geq 0

כלומר קיבלנו:

\cos\theta\geq 0

\sin\theta \geq 0

משני אי-שוויונים אלו מקבלים שהטווח של תטא הוא

0\leq\theta \leq \frac{\pi}{2}

והטווח של המשתנה z נתון בשאלה:

0\leq z\leq 3

נבנה את האינטגרל החדש: נציג את הפונקציה בתוך האינטגרל בעזרת המשתנים החדשים, נציב את גבולות האינטגרציה של המשתנים האלה ונכפול ביעקוביאן המתאים. כך נקבל את האינטגרל:

\int\int\int_T z\sqrt{x^2+y^2} dxdydz=

=\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{2\cos\theta} dr\int_0^3 z\sqrt{r^2}\cdot r dz=

=\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{2\cos\theta} dr\int_0^3 zr^2 dz=

נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר) לפי z ונקבל:

=\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{2\cos\theta} [\frac{z^2}{2}\cdot r^2]_0^3 dr=

נציב את גבולות האינטגרציה במקום z:

=\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{2\cos\theta} [\frac{3^2}{2}\cdot r^2-\frac{0^2}{2}\cdot r^2] dr=

=\int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{2\cos\theta} \frac{9}{2}r^2 dr=

שוב, נפתור את האינטגרל הפנימי (הימני ביותר), הפעם לפי r:

=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{9}{2}[\frac{r^3}{3}]_0^{2\cos\theta} d\theta=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{9}{2}[\frac{{(2\cos\theta)}^3}{3}-\frac{0^3}{3}] d\theta=

=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{9}{2}\cdot\frac{8\cos^3\theta}{3} d\theta=

=\frac{72}{6}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3\theta d\theta=

הגענו לאינטגרל מסוים במשתנה אחד – תטא. כדי לפתור אותו, נפצל את הפונקציה באינטגרל ונשתמש בזהות טריגונומטרית:

=12\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta\cos\theta d\theta=

=12\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-\sin^2\theta)\cos\theta d\theta=

הגענו למכפלה של שתי פונקציות מאותה משפחה – פונקציות טריגונומטריות – ופונקציה אחת היא הנגזרת של השנייה. זה רמז להשתמש בשיטת ההצבה. לשם כך, נגדיר משתנה חדש:

t=\sin\theta

ונקבל:

dt=\cos\theta d\theta

נציב את המשתנה החדש באינטגרל (לא נשכח לשנות את גבולות האינטגרציה לפי המשתנה החדש t) ונקבל:

=12\int_0^1 (1-t^2) dt=

נפתור את האינטגרל:

=12[t-\frac{t^3}{3}]_0^1=

נציב את גבולות האינטגרציה:

=12[1-\frac{1^3}{3}-(0-\frac{0^3}{3})]=

=12[1-\frac{1}{3}]=

=12\cdot \frac{2}{3}=

=8

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה