fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה- מנה של פונקציות עם שורש – תרגיל 5814

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 5} \frac{\sqrt{x-1}-2}{x^2-6x+5}

תשובה סופית


\lim _ { x \rightarrow 5} \frac{\sqrt{x-1}-2}{x^2-6x+5}=\frac{1}{16}

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x = 5

ונקבל:

\frac{\sqrt{5-1}-2}{5^2-6\cdot 5+5}=\frac{0}{0}

קיבלנו ביטוי שהוא “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר אנו נמצאים במצב של “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס” ו-x שואף למספר סופי – אם יש פולינום, נפרק אותו לגורמים, ואם יש ביטוי עם שורש, ננסה את שיטת הכפל בצמוד.

במכנה יש לנו פולינום, לכן נפרק אותו לגורמים בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 5} \frac{\sqrt{x-1}-2}{x^2-6x+5}=

=\lim _ { x \rightarrow 5} \frac{\sqrt{x-1}-2}{(x-1)(x-5)}=

במונה יש לנו ביטוי מהצורה a-b, כאשר אחד מהם הוא שורש, לכן נשתמש בשיטת הכפל בצמוד ונכפול את המונה ואת המכנה בצמוד של הביטוי במונה. נקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 5} \frac{(\sqrt{x-1}-2)(\sqrt{x-1}+2)}{(x-1)(x-5)(\sqrt{x-1}+2)}=

מנוסחת הכפל המקוצר, מקבלים במונה:

=\lim _ { x \rightarrow 5} \frac{x-1-4}{(x-1)(x-5)(\sqrt{x-1}+2)}=

=\lim _ { x \rightarrow 5} \frac{x-5}{(x-1)(x-5)(\sqrt{x-1}+2)}=

נצמצם את הביטוי שגרם למקרה האי-ודאות ונקבל:

=\lim _ { x \rightarrow 5} \frac{1}{(x-1)(\sqrt{x-1}+2)}=

נציב שוב:

x = 5

הפעם נקבל:

=\frac{1}{(5-1)\cdot(\sqrt{5-1}+2)}=

=\frac{1}{4\cdot(\sqrt{4}+2)}=

=\frac{1}{4\cdot(2+2)}=

=\frac{1}{4\cdot 4}=

=\frac{1}{16}

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה