fbpx
חדו"א אונליין - תרגילים ופתרונות בחינם שיעזרו לך להצליח!

חישוב גבול של פונקציה – מנה של פולינומים ממעלה שנייה בשאיפה למספר סופי – תרגיל 5905

תרגיל 

חשבו את הגבול:

\lim _ { x \rightarrow 2 } \frac {x^2-2x} {x^2 - 4 x + 4}

תשובה סופית

הגבול אינו קיים.

פתרון

דבר ראשון, נציב בפונקציה:

x =2

ונקבל:

\frac {2^2-2\cdot 2} {x2^2 - 4 \cdot 2 + 4}=\frac{0}{0}

קיבלנו “שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס”. זהו מקרה אי-ודאות, לכן נפתח את הביטוי כדי לצאת ממצב זה. 

טיפ: כאשר הפונקציה היא פונקציה רציונלית, כלומר מנה של פולינומים, והצבה נותנת 0\0 (= שואף לאפס חלקֵי שואף לאפס) – במקרה כזה, נפרק את הפולינומים לגורמים, וכך נצמצם את הגורם שגרם לאפס בהצבה. 

נפרק לגורמים את הפולינום במונה:

x^2-2x=x(x-2)

נפרק לגורמים את הפולינום במכנה:

x^2-4x+4=0

נמצא את השורשים שלו בעזרת נוסחת השורשים:

x _ {1,2} = \frac {- ( - 4) \pm \sqrt{( - 4 )^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}=

=\frac {4\pm \sqrt{16 - 16}}{2}=

=\frac {4\pm 0}{2}=

=\frac {4}{2}=

=2

ולכן הפירוק שלו הוא:

x^2-4x+4={(x-2)}^2

נציב בגבול ונקבל:

\lim _ { x \rightarrow 2 } \frac {x^2-2x} {x^2 - 4 x + 4}=

=\lim _ { x \rightarrow 2 } \frac {x(x-2)} {{(x-2)}^2}=

נצמצם:

=\lim _ { x \rightarrow 2 } \frac {x} {x-2}=

נציב x=2 ונקבל:

=\frac {2} {2-2}=

=\frac {2} {0}

הערה: האפס במכנה מציין מספר השואף לאפס ולא אפס מוחלט, לכן זה מוגדר מתמטית.

טיפ: כשיש “שואף לאפס” במכנה, שימו לב מה הסימן שלו.

נשים לב שכאשר שואפים ל-2 מימין, x גדול מ-2, ולכן נקבל בגבול:

\lim _ { x \rightarrow 2^+ } \frac {x} {x-2}=

=\frac {2} {2^+ -2}=

=\frac {2} {0^+}=

=\infty

אבל כאשר שואפים ל-2 משמאל, x קטן מ-2, ולכן נקבל בגבול:

\lim _ { x \rightarrow 2^- } \frac {x} {x-2}=

=\frac {2} {2^- -2}=

=\frac {2} {0^-}=

=-\infty

מכיוון שקיבלנו שהגבולות החד-צדדיים לנקודה אינם שווים, אין גבול בנקודה x=2.

עזרתי לך להבין את החומר? אשמח לתרומה צנועה של כוס קפה כאן, כדי שאוכל להעלות בכיף פתרונות נוספים 🙂
רוצה פתרונות נוספים בנושא זה או בנושאים אחרים? – ספר/י לי כאן ואשמח לעזור.
מצאת טעות? יש לך שאלה בנוגע לפתרון זה? השאיר/י תגובה למטה ואשמח לענות. 

שתפו עם חברים

כתיבת תגובה